Logaritmer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 120: Rad 120:
=== Definitioner ===
=== Definitioner ===


{{defruta | '''Logaritmer'''
{{defruta| '''Logaritmer'''


Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''
Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''

Versionen från 15 januari 2018 kl. 22.59

Mål för undervisningen Logaritmer

Här definierar, förklarar, undersöker och diskuterar vi logaritmer.

Tillämpningar

Historiska tillämpningar inom sjöfart

How to Navigate by the Sun
How does math guide our ships at sea? - George Christoph
Från TEDEd

Filmerna visar hur man navigerade förr i tiden, hur sextanten och kronografens uppfinningar förbättrade precisionen i navigeringen.

För att bestämma positionen utifrån uppmätt solhöjd krävdes beräkningar som innefattade multiplikationer av stora tal vilket var tidsödande. Genom att logaritmera omvandlades multiplikationen till en addition vilket är mycket enklare och därmed tidsbesparande.

Logaritmvärdena hämtades ur tryckta tabeller.

Logaritmer och funktionen y = 10x

Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.
Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

a = bx

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.

Läs mer här: Eng WP Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications

Lektion med laborativa delar - Mäta solhöjden

Tillämpningar inom naturvetenskap

Läs mer om: Linjära och exponentiella modeller
Logaritmiska modeller exempel med pH, Richterskalan och decibel

Teori

Enkla tiopotenser

Exempel
tiopotenser

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

1000 kan skrivas som 103
100 kan skrivas som 102
10 kan skrivas som 101
1 kan skrivas som 100
0.1 kan skrivas som 10-1
0.01 kan skrivas som 10-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10x där x inte är ett heltal.


Inversen

Det finns en del motsatser, bland våra matematiska operationer, som upphäver varandras verkan.

Tänk bara på addition och subtraktion med plus (+) och minus (-).

Ibland talar man om inversen. Man säger att den additiva inversen till ett tal n är dess inversa element (det motsatta talet -n ) under den binära operationen addition. Det motsatta talet kan beräknas genom multiplikation med −1; det vill säga, −n = (−1) · n.

Multiplikation (*) och division (/) är en annan.

Den (multiplikativa) inversen till [math]\displaystyle{ x }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]. Det gäller också att : [math]\displaystyle{ x \cdot \frac{1}{x} = 1 }[/math]

Man talar om inversa funktioner.

Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] till en funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] är sådan att [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(x)) = x. }[/math]

Om vi har en funktion [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] kan vi söka lösa ekvationen med avseenda av x, så att [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math] och sedxan

Exempel
Inversa funktioner

Några inversa funktioner är :

[math]\displaystyle{ f(x)=x+a }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= x-a }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=x\cdot a }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{x}{a}, a \ne 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)= x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= \frac{1}{x}, x \ne 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=sin x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)= sin^{-1}(x)=\arcsin(x), -1 \le x \le 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=ln(x) }[/math]. Det gäller att [math]\displaystyle{ e^{ln(x)}= x. }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=ln(x) }[/math] och [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=e^x }[/math]. Det gäller att [math]\displaystyle{ ln(e^x)= x. }[/math]


Alla värden är möjliga

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men y blir alltid positivt. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

Uppgift
Gissa grafens utseende

Skriv en funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 10^x }[/math]

Resonera dig fram till hur grafen [math]\displaystyle{ g(x) = \log_{10}{f(x)} }[/math] ser ut.

Testa om det stämmer.



Definitioner

Definition
Logaritmer

Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a

eller

[math]\displaystyle{ \log{a} = }[/math] är det talet basen 10 ska höjas med för att få a

eller

[math]\displaystyle{ a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a }[/math].

eller

[math]\displaystyle{ \log{10^x} = x }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ 10^{\log{a}} = a }[/math]


Andra beteckningar

Andra beteckningssätt för log10 a är log a och lg a.

Grafen för logaritmerna

Graf över tiologaritmen

Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.

Exempelvis kan 10 skrivas som 101. Därför är log 10 = 1.

Och 100 kan skrivas som 102. Därför är log 100 = 2.

Log 1 = 0

Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).

Aktivitet

Repetera - Exponentialfunktioner

Potensfunktionen y=10x

grafen visar y = 10x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

Originalet finns på min HD.

Ekvationen 2x = 3

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar

Lär mer

Swayen till detta avsnitt: Logaritmer


läromedel: Logaritmer


Läs om Tiologaritmer


Repetition logaritmer

Diagnos

Kort diagnos: mathcentre Överkurs (limes)

Exit ticket