Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
Ingen redigeringssammanfattning
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
{{malruta | Komplxa tal
{{malruta | Komplxa tal


Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.  
Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.  
}}
}}
== Teori ==


=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===
=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===
Rad 32: Rad 33:
: <math>Im z = b</math>
: <math>Im z = b</math>
}}
}}
= Exempel =


{{exruta|
{{exruta|
Rad 62: Rad 65:
{{clear}}
{{clear}}


== Aktivitet ==
= Uppgifter =
   
   
=== Öva online ===
=== Öva online ===
Rad 79: Rad 82:
[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
}}
}}
= Aktivitet  =


=== Visualisera komplexa rötter ===
=== Visualisera komplexa rötter ===
Rad 87: Rad 92:
</html>
</html>


== Lär mer ==
= Lär mer =


{| align="right"
{| align="right"
Rad 140: Rad 145:


== Exit ticket ==
== Exit ticket ==
<headertabs />

Versionen från 13 februari 2019 kl. 07.15

[redigera]
Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.


Vad ska man ha komplexa tal till?

Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction
  • Komplexa tal används när man räknar på växelström.

Komplexa rötter

komplexa tal

Andragradsekvationer med ickereella röter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition
Komplexa tal


[math]\displaystyle{ \sqrt{-1} = i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]


Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math]
[math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]
[math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]


[redigera]
Exempel

x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa.

[math]\displaystyle{ x^2 = -16 }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{-16} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2 * 16} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm i * 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1 = 4i }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2 = -4i }[/math]


x2-4x+13=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

[math]\displaystyle{ x^2 - 4x + 13 = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ {{pq-formeln}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 } }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{-9} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm 3i }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1 = 2 +3i }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2 = 2 - 3i }[/math]



Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

[redigera]

Öva online


Uppgift

Uppgift
CAS i Geogebra

Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra.

CAS står för Computer Algebra System.

GeoGebra Quickstart Tutorial.


[redigera]

Visualisera komplexa rötter

Visualisera komplexa rötter

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: [https xxx]



Läs om Komplexatal


Texter från högskolan

En wiki med mycket teknik

Fördjupning som hör till Ma4

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]

För konjugatet gäller

[math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]
[math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]
[math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]

Exit ticket