Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
 
(54 mellanliggande sidversioner av 4 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
=Teori=
[[Fil:NumberSetinC.svg|alt=|höger|324x324px]]
<br />
{{#ev:youtube|T647CGsuOVU|320|right|Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction}}
{{malruta | Komplxa tal
{{malruta | Komplxa tal


Rad 4: Rad 10:
}}
}}


== Teori ==
===Komplexa tal===
 
[[Fil:ComplexaTalplanet-3.png|miniatyr|upright=1.2|Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (''Re'') och en imaginärdel (''Im'')]]
 
De '''komplexa talen''' kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som
 
:<math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>
 
där det reella talet ''a'' är '''realdelen''', det reella talet ''b'' är '''imaginärdelen''' och '''i''' är den imaginära enheten med egenskapen
 
:<math>\ \mathrm i^2\ = {-1}</math>
{{clear}}
 
===Komplexa rötter===
{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|Komplexa tal}}
[[File:Complex number illustration.svg|400|right|Complex number illustration]]
 
Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan [https://wikiskola.se/index.php?title=Tal_och_talm%C3%A4ngder Tal och talmängder]


{{defruta|'''Komplexa tal'''
{{defruta|'''Komplexa tal'''
<br />
<br />
:<math>\sqrt{-1} = i </math>


: <math> i^2 = -1 </math>
: <math> i^2 = -1 </math>
<br />
<br />
Det är praktiskt att se det som att
: <math> i = \sqrt{-1} </math>
även om det inte är matematiskt korrekt, se engelska Wikipedia om [https://en.wikipedia.org/w/index.php?title{{=}}Imaginary_number&stable{{=}}0#Square_roots_of_negative_numbers Imaginary number].


Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
<br />
<br />
: <math> z = a + bi </math>
: <math> z = a + bi </math>
: <math>Re z = a</math>
: <math>Im z = b</math>
Imaginärdelen är ett reellt tal.
}}
}}
<br />
'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]


=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===
===Komplexa tal och andragradsekvationer===
{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}
 
Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:
 
:<math> x^2 + px + q = 0 </math>
 
med lösningen:


* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>
** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]


=== Komplexa rötter ===
Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten


[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
:<math>  \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} < 0 </math>


[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
==Exempel 1==
{{clear}}


== Inledning ==
{{exruta|'''En andragradsekvation har två rötter'''
{{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}}


: <math>i^2 = -1</math>
En andragradsekvation
:<math>ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0</math>


: <math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>
har alltid '''två''' rötter. Dessa är
: <math>Re z = a</math>
: <math>Im z = b</math>


=== Konjugatet ===
:<math>x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}</math>


Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:
Om uttrycket under rottecknet är
:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]]
* större än noll, är rötterna olika och reella
{{clear|left}}
* mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
* lika med noll, är rötterna lika och reella
}}


Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som
=Exempel=


: <math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>
{{exruta|
[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x^2%3D-16 x<sup>2</sup> {{=}} -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa.
: <math>x^2 = -16</math>
: <math>x = \pm \sqrt{-16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2 * 16}</math>
: <math>x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16}</math>
: <math>x = \pm i * 4</math>
: <math>x_1 = 4i</math>
: <math>x_2 = -4i</math>


För konjugatet gäller


: <math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\  </math>
[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x%5E2+-4x+%2B13 x<sup>2</sup>-4x+13{{=}}0] har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
: <math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\  </math>
: <math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>


=== Absolutbeloppet ===
: <math> x^2 - 4x + 13 = 0 </math>
: <math>{{pq-formeln}}</math>
: <math> x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 }</math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{-9} </math>
: <math> x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} </math>
: <math> x = 2 \pm 3i </math>
: <math> x_1 = 2 +3i</math>
: <math> x_2 = 2 - 3i</math>


Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som
}}
<br />
'''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]


: <math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
{{clear}}
eller


: <math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
=Anteckningar=
För absolutbeloppet gäller


: <math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
<pdf>Fil:Anteckningar_Komplexa_rötter.pdf</pdf>
: <math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>


== Aktivitet ==
=Uppgifter=
   
   
=== Öva online ===
===Öva online===


{{khanruta |  [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers]
{{khanruta |  [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers]
}}
}}


=== Uppgift ===
===Uppgift===
 
{{uppgruta| '''CAS i Geogebra''''


{{uppgruta| '''CAS i Geogebra'''
[[Fil:CSolve.PNG|280px|höger]]
Lär dig lösa andragradsekvationer med [https://www.geogebra.org/m/yz2ynJMR CAS-modulen i GeoGebra].
Lär dig lösa andragradsekvationer med [https://www.geogebra.org/m/yz2ynJMR CAS-modulen i GeoGebra].


Rad 90: Rad 133:
[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
}}
}}
=Relevans=
===Vad ska man ha komplexa tal till?===
Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.
*Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
**[http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
{{clear}}
=Aktivitet=
===Visualisera komplexa rötter===
:[https://www.geogebra.org/m/jRfwmrVf Visualisera komplexa rötter]


<html>
<html>
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation, Visualisera komplexa rötter." src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/x2kvXvpb/width/839/height/448/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="839px" height="448px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>


== Lär mer ==
=Lär mer=


{|
{| align="right"
|-
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|{{sway | [https xxx]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/3c633f9b-5112-44c0-aa59-219c3816c74a Andragradsekvationer med komplexa rötter] }}<br />
|{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
|}
|}


== Exit ticket ==
===Texter från högskolan===
 
*[http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etia01/1112/Frekvensplanet.pdf Komplexa tal i elläran]
 
===En wiki med mycket teknik===
 
*[http://wiki.sikvall.se/index.php/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
 
=== Bruno Kevius ===
 
: [http://matmin.kevius.com/komplext.php Komplexa tal]
 
===Fördjupning som hör till Ma4===
 
{{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}}
 
====Konjugatet====
 
Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:
 
:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]]
{{clear|left}}
 
Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som
 
:<math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>
 
För konjugatet gäller
 
:<math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\  </math>
:<math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\  </math>
:<math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>
 
====Absolutbeloppet====
 
Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som
 
:<math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
 
eller
 
:<math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
 
För absolutbeloppet gäller
 
:<math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
:<math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>
 
==Exit ticket==
 
<headertabs />

Nuvarande version från 21 februari 2019 kl. 22.06


[redigera]


Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction
Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.


Komplexa tal

Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im)

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

[math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

[math]\displaystyle{ \ \mathrm i^2\ = {-1} }[/math]

Komplexa rötter

Komplexa tal
Complex number illustration
Complex number illustration

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition
Komplexa tal


[math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]


Det är praktiskt att se det som att

[math]\displaystyle{ i = \sqrt{-1} }[/math]

även om det inte är matematiskt korrekt, se engelska Wikipedia om Imaginary number.

Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math]
[math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]
[math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]

Imaginärdelen är ett reellt tal.


Komplexa tal och andragradsekvationer

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

med lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

[math]\displaystyle{ \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \lt 0 }[/math]

Exempel 1

Exempel
En andragradsekvation har två rötter

En andragradsekvation

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0 }[/math]

har alltid två rötter. Dessa är

[math]\displaystyle{ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} }[/math]

Om uttrycket under rottecknet är

  • större än noll, är rötterna olika och reella
  • mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
  • lika med noll, är rötterna lika och reella


[redigera]
Exempel

x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa.

[math]\displaystyle{ x^2 = -16 }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{-16} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2 * 16} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \pm i * 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1 = 4i }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2 = -4i }[/math]


x2-4x+13=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

[math]\displaystyle{ x^2 - 4x + 13 = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ {{pq-formeln}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 } }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{-9} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = 2 \pm 3i }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1 = 2 +3i }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2 = 2 - 3i }[/math]



Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

[redigera]

Öva online


Uppgift

Uppgift
CAS i Geogebra

Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra.

CAS står för Computer Algebra System.

GeoGebra Quickstart Tutorial.


[redigera]

Vad ska man ha komplexa tal till?

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

  • Komplexa tal används när man räknar på växelström.
[redigera]

Visualisera komplexa rötter

Visualisera komplexa rötter

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: [https xxx]


Wikipedia Komplexa tal


Läs om Komplexatal


Texter från högskolan

En wiki med mycket teknik

Bruno Kevius

Komplexa tal

Fördjupning som hör till Ma4

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]

För konjugatet gäller

[math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]
[math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]
[math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]
[math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]

Exit ticket