Komplexa tal Ma2c

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.


Teori

Vad ska man ha komplexa tal till?

Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction
  • Komplexa tal används när man räknar på växelström.

Komplexa rötter

komplexa tal

Andragradsekvationer med ickereella röter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition
Komplexa tal


[math]\sqrt{-1} = i [/math]
[math] i^2 = -1 [/math]


Ett komplext tal består av en realdel [math]a[/math] och en imaginärdel [math]b[/math].

[math] z = a + bi [/math]
[math]Re z = a[/math]
[math]Im z = b[/math]


Exempel

x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa.

[math]x^2 = -16[/math]
[math]x = \pm \sqrt{-16}[/math]
[math]x = \pm \sqrt{i^2 * 16}[/math]
[math]x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16}[/math]
[math]x = \pm i * 4[/math]
[math]x_1 = 4i[/math]
[math]x_2 = -4i[/math]


x2-4x+13=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

[math] x^2 - 4x + 13 = 0 [/math]
[math]{{pq-formeln}}[/math]
[math] x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 }[/math]
[math] x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} [/math]
[math] x = 2 \pm \sqrt{-9} [/math]
[math] x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} [/math]
[math] x = 2 \pm 3i [/math]
[math] x_1 = 2 +3i[/math]
[math] x_2 = 2 - 3i[/math]



Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

Aktivitet

Öva online


Uppgift

Uppgift
CAS i Geogebra
CSolve.PNG

Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra.

CAS står för Computer Algebra System.

GeoGebra Quickstart Tutorial.


Visualisera komplexa rötter

Visualisera komplexa rötter

Lär mer

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: [https xxx]



Matteboken.png
Läs om Komplexatal


Texter från högskolan

En wiki med mycket teknik

Fördjupning som hör till Ma4

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

ComplexaTalplanet.svg

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math] \bar{z} = a - b\,\mathrm i [/math]

För konjugatet gäller

[math]\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ [/math]
[math]\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ [/math]
[math]\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| [/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]r= \sqrt{a^2 + b^2}[/math]

eller

[math]r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|[/math]
[math]\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}[/math]

Exit ticket