Kleindagarna 2012: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(118 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Syfte ==
[[Fil:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|höger|200px|miniatyr|Titelsidan för Henry Billingsley's första engelska version av Euklides ''Elementa'', 1570. Läs den svenska utgåvan från 1844 på [http://runeberg.org/elementa/ Projekt Runeberg]]]
[[Fil:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|höger|200px|miniatyr|Titelsidan för Henry Billingsley's första engelska version av Euklides ''Elementa'', 1570. Läs den svenska utgåvan från 1844 på [http://runeberg.org/elementa/ Projekt Runeberg]]]


Den här sidan är till för anteckningar och reflektioner från [http://www.math.chalmers.se/~torbjrn/SKM/kleinprojektet.html Kleindagarna] 2012 på [http://www.mittag-leffler.se/ Institut Mittag-Leffler].
== Syfte ==


Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Lektionerna från förra året finns [http://skm.kva.se/ här på SKM]
Denna sida innehåller anteckningar och reflektioner från [http://www.math.chalmers.se/~torbjrn/SKM/kleinprojektet.html Kleindagarna] 2012 som arrangerades av [http://skm.kva.se/ Svenska kommittén för matematikutbildning] på [http://www.mittag-leffler.se/ Institut Mittag-Leffler]. Kleindagarna stöds även av [http://www2.math.su.se/nk/ Nationalkommittén för matematik] och [http://mattebron.ncm.gu.se/ Mattebron]


Kleindagarna stöds även av [http://mattebron.ncm.gu.se/ Mattebron]
Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Min tanke nu (23 juni) är att redigera om sidan till fyra eller fler lektionsförslag utifrån mina tankar. Det innebär att jag kommer att ta bort en del för att skapa överblick. Mina oredigerade anteckningar finns här: [http://wikiskola.se/index.php?title=Kleindagarna_2012&oldid=13918 (länk till tidigare version)].


Alla som vill är välkomna att delta. Säg till så ordnar jag ett konto.
Lektionerna från förra året finns [http://skm.kva.se/ här på SKM]. De är fria att översätta och använda som man vill. Vi uppmuntras även att skriva [http://wikis.zum.de/dmuw/The_Klein_Project/Klein_Vignettes vinjetter].


Vi uppmuntras att skriva [http://wikis.zum.de/dmuw/The_Klein_Project/Klein_Vignettes vinjetter].
=== De fem E:na ===


=== Att tänka på när vi tar fram lektionsförslag===
Samuel tipsade om att en lektion gärna kan struktureras så att den innehåller komponenter med följande inriktningar.
 
* minst 4
* vi väljer själva
* för en kurs
* användbara
* uppmuntra
* respekt
* roligt
 
=== De fem E:na ===


* Engage
* Engage
Rad 30: Rad 19:
* Evaluate
* Evaluate


== Föreläsare ==
== Lektion abstrakt algebra - Grupper ==
 
Ann-Mari, Magnus,


== Abstrakt algebra, Veronica Crispin ==
=== Teoriföreläsning: Abstrakt algebra, Veronica Crispin ===


'''Begrepp'''
'''Begrepp'''
Rad 51: Rad 38:
Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0
Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0


=== Grupp 1 ===
=== Lektionens genomförande ===
 
Kurs 3C
 
Facebook – gemensamma vänner
 
- Operation – Symbol – träd (engage)


Redan i ettan. Möta hindren. Inte tillrättalagda uppgifter. Undersöka begreppen, hitta ickekommutativitet.
- 2 objekt


=== Grupp 2 ===
- Andra operationer


Tolka definitioner
- De fyra räknesätten


Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion
- Kanske förslag på sinus, roten ur


Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen
- Fortsätt att skapa operationer med de fyra räknesätten


Obs olika representationer.
- Undersök kommutativitet


Konkreta exempel behövs.
Tal Allmännt


Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.
3+4=4+3 a+b =b+a


=== Grupp 3 fm fredag ===
3-14 inte = 4-3


Runda biblioteket, plan 2, en trappa upp
Sen undersöka Associativitet


* Atref
(3/4)/5 = 3/(4/5) ?
* Håkan
* Lena
* Mohammed
* Ulrica
* Magnus
* Elin


Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner
Utvecklade binära operationer


Nollan, ettan och oändligheten.
(a+b)^2


:1/<math>\infty</math>
Rot(ab)
: 1/0
: <math>\infty-\infty</math>


Använd inte *för operationen. Hjärta, smiley, …


logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel
Undersök ett av elevernas förslag map komm och associativ.


inversa funktioner
Tal  allmänt


Sjöfarten, logaritmtabeller
Grupper om tre. De får ett par saker att undersöka. Det kommer att finnas sex olika.


==== Laboration: mäta solhöjden ====
Avsluta med att visa lösningarna på tavlan.


[[Fil:Marine_sextant.svg|miniatyr|300px|höger|En sextant.]]
Sedan åter till gemensamm fb-vänner
[[Fil:Using sextant swing.gif|miniatyr|300px|höger|Hur man använder sextanten för att mäta solens höjd över horisonten.]]


Håkans sätt  [[Funktioner_2C#Potensfunktionen_y.3D10x|introducera logaritmer:]]
Konstatera att de är både komm och ass


Nu vill vi introducera logaritmen på ett behovsbaserat sätt
Hemläxa att eleverna hittar på egen operation


alt simulering eller sextantsapp
=== Lektionstips 1 - Abstrakt algebra ===


Ma2C, Ma3B
Tolka definitioner


Man går från R<big>+</big> med multiplikation till addition
Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion


Sextant, mäta solhöjden, beräkna positionen, utan räknare ger behov av multiplikation av tal med många siffror
Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen


Behov: Modell sol, solhöjd
Obs olika representationer.


Introducera logaritmtabeller
Konkreta exempel behövs.


Ger breddgraden. Longituden får man genom att räkan på sträcak tid. Krongrafen
Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.


Hur få alla i gruppen att delta?
=== Lektionstips 2 - Abstrakt algebra ===


Filmen longituden
Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner


Analogi: triangulering satelliter, GPS.
Nollan, ettan och oändligheten.


Vilken multiplikation är det? Är det typ sinussatsen? Sfäriska trianglar...
:1/<math>\infty</math>
: 1/0
: <math>\infty-\infty</math>


==== Ulrihca berättar ====


Sextantmätningen ger vinkel f solhöjd samt bäring (vinkel)
logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel


Latituden ges av tabellen
inversa funktioner


Begränsa oss till att mäta och räkna ut latituden.
Sjöfarten, logaritmtabeller
{{clear}}


=== Grupp4 fm fre ===
=== Lektionstips 3 - Abstrakt algebra ===


Kurs 1
Kurs 1
Rad 164: Rad 149:


Kurs 2 Repetition i samband med algebra.
Kurs 2 Repetition i samband med algebra.
=== Uppslag ===


==== Explore ====
==== Explore ====
Rad 180: Rad 163:
Skriv sanning på formelblad
Skriv sanning på formelblad


== Magnus föredrag ==
== Lektion med laborativa delar - [[Mäta solhöjden]] ==
 
== Lektion i statistik - Strecket ==
 
=== Statistikteori ===
 
==== pi och e ====


Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.
Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.
Rad 197: Rad 186:
:4 1 0.005
:4 1 0.005


=== Användbart på gymn ===
==== Användbart på gymn ? ====


Sannolikhetsträd för kasta krona
Sannolikhetsträd för kasta krona


p<sup>2</sup> P(1-p) (1-p)p (1-p)<sup>2</sup>
p<sup>2</sup> | P(1-p) | (1-p)p | (1-p)<sup>2</sup>


Hur kommer det sig att <math>\pi</math> och <math>e</math> dyker upp hela tiden?
Hur kommer det sig att <math>\pi</math> och <math>e</math> dyker upp hela tiden?


==== Possionfördelning ====
==== Possionfördelning ====
[[Fil:Poisson distribution PMF.png | thumb | P som funktion av heltalen ''x'' för ''λ=m''=1, 4 och 10.]]
'''Poissonfördelning''' är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Den approximerar binomialfördelningen om <math>n</math> är stort och <math>p</math> är litet (tumregel: om <math>p < 0.1</math> kan den aktuella binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(λ=m) där <math>m=np</math>), där ''n'' = antalet försök och ''p'' = sannolikheten att den efterfrågade händelsen ska inträffa. Sannolikhetsfunktionen är
:<math>{P(X=x) =} {{e^{-\lambda} \lambda^x} \over x!}.</math>
Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är <math>\lambda</math>.
{{wp}}


==== Gränsvärdessatsen ====
==== Gränsvärdessatsen ====
[http://sv.wikipedia.org/wiki/Centrala_gr%C3%A4nsv%C3%A4rdessatsen Centrala gränsvärdessatsen på sv WP]. Sidan behöver utökas...


==== Normalförelningen ====
==== Normalförelningen ====
Rad 231: Rad 230:
Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.
Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.


'''Stora datamängder:''' Helgenomundersökningar med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.
'''Stora datamängder:''' Helgenomundersökningar (3 10<sup>9</sup> baspar) med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.


=== Grupp 1 på fre em ===
=== Lektionens genomförande - Strecket - gruppens redovisning ===


* Anna,  
# Inledning, dra  streck
* Sten Ryd,  
# Excel, lärare
* Andreas Bergulf,  
# Median, medelv, Typvärde
* Jana,
# Visualisera
* Malin Rosenberg
## osorterat
## sorterat. platå innebär kanske norm fördeln
## Elever + lärare histogram. Typvärde ointressant
# Slutrsats att måste ha mer data
## dels på egna skolan
## dels från andra skolor som finns på nätet
# Utvidga. Hur stor procent skulle dra kortare än 7 cm? Kan man komma med en hypotes fr materialet och testa den?


Kolla på Gaussfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.
=== Lektionsförslag - Strecket - grupparbetet===
[[File:Pen stroke with gel refill.jpg|thumb|Pen stroke with gel refill]]


börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)
==== Engage ====


Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.  
Idag ska vi göra enklaste möjliga övning men ändå komma att se fantastisk matematik.  


Samla in data med sensorer
Det första vi ska göra är att dra ett streck på ett papper.


[http://books.google.se/books/about/Euler.html?id=uKOVNvGOkhQC&redir_esc=y Euler, The Master of us all]
'''Kommentar''': Eleverna ska vara så lite informerade som möjligt om vad strecket ska vara till.


Excel övning: pi<sup>2</sup>/6
==== Explore - Explain ====


==== Strecket ====
Det kommer att växla mellan Explore - Explain.


Enklaste möjliga. Dra ett rakt streck på ett papper. Mät längden. Notera kön, ålder (hemläxa i familjen) och klass (program). T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser.  
Dra ett rakt streck på ett papper.  


Skriv ett tal mellan 1-33.
# A4-papper.
# Varje elev drar ett streck
# Mät längden i mm. Mät avståndet mellan ändpunkterna
# Rapportera till läraren som skriver upp värdena på tavlan. Utan struktur.
# Visa Excel el likn med projektor och anteckna värdena som eleverna rapporterar
##  Kön (det enda eleverna behöver skriva
## Längden
# Värdena osorterat. Fråga eleverna vad man kan göra med data. De föreslår förmodligen medelvärde osv. Beräkna medelvärde
# Hitogram. för att åskådliggöra.
# Sortera efter längd
# Histogram. Indelat i klasser.
## GGB. Dela in i lagom antal klasser. Klassbredden kan vara 10 % av intervallet, dvs omkring 10 klasser.
## Länkar, boken.
## [http://www.malinc.se/math/statistics/normal_distrsv.php MalinC om normalfördelningen]
# Titta om det är någon skillnad på kön
# Vi har ett stickprov av alla streck som kunde dras. Kan vi jämföra detta med något annat. Titta på något mer.
# Om vi skulle gå ut på stan, hur många procent skulle då dra streck kortare än 7 cm. Man kan pröva denna hypotes i en annan klass.
# Tror vi att det är normalfördelat.
# Vilket är det normalaste strecket?
#


Tävling: Närmast väntevärdet vinner.
==== Explain ====


Eleverna gör förslag på andra undersökningar.
Att diskutera utifrån materialet


==== Parentes ====
* Medelvärde, median, min-, max-värde, kvartiler, standardavvikelse.


Skriv ett tio olika ord som du tror att andra har skrivit
* Vad innebär normalfördelning?


=== Grupp 2 ===
==== Elaborate ====


Fotboll, antal mål? [http://www.fotbollen.com/Premier/kampene.html Fotbollsstatistik]
Titta i nationella data.


Handboll? 
T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser.


Olika data, samma fördelning? Labba med Geogebra.
'''Tävling''': Närmast väntevärdet vinner.


Titta på andra datamängder som FB-vänner.
==== Evaluate ====


=== Grupp 3 ===
==== Rapportera in till SKM ====


xkcd.com/882/
* Program
* Län (skolans)


Jelly Beans
=== Lösa tankar och tips statistik===


Elever kikar på tidningsartiklar som refererar "vetenskapliga" studier.  
Kolla på normalfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.


Upptäck att det är svårt att hitta källor.
börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)


Plan över vetenskaplig studie.
Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.  


Sedan bedöma varandras planer. Respons i Voice Thread.
Samla in data med sensorer


=== Grupp 4 ===
'''Boktips''': [http://books.google.se/books/about/Euler.html?id=uKOVNvGOkhQC&redir_esc=y Euler, The Master of us all]
 
Lönestatistik på kommunal skola. Genusfråga. Eleverna bearbetar. Eleverna tar kanske medelvärdet.
 
Problematisera: man-kvinna, utbildningsnivå, undervisande ämnen, ålder.
 
SIRIS  i Gapminder
 
== Lördag ==
 
=== Jana Madjarova ===
 
=== Grupp 1 ===
 
* Begreppens betydelse. Är en kvadrat en rektangel?
* Läxförhör på definitioner
* Formulera satser
* Bevisa Pythagoras omvändelse
* Elevuppgift: Rita alla geometriska figurer och namnge dem.
* Genomgång: Komplettering. Strukturera.  
* Återkoppla i senare undervisning.
* Parövning: Elever rygg mot rygg. en beskriver ett geometriskt objekt och den andre ska rita det den hör. Detta har jag gjort i åk5 men om man har med bisektriser och liknande blir det svårt nog. Det kan funka som en skriftlig övning som hemuppgift.
* Rita gissa spring?
* Etymologi.


==== Grupp 2 ====
== Lektion Geometri - Linjen och cirkeln ==


Kurs Ma1C, Ma2B
Kurs Ma1C, Ma2B
Rad 344: Rad 347:
Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter.
Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter.


Sedan fästa blicken på att man använder basvinkelsatsen.  
Sedan fästa blicken på att man använder '''basvinkelsatsen'''.  
[[Fil:Triangel-liksidig-likbent.svg|right|350px]]


Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan.
Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan.
Rad 356: Rad 360:
'''Expand''': Hur vet vi att basvinkelsatsen gäller?
'''Expand''': Hur vet vi att basvinkelsatsen gäller?


==== Grupp 3 ====
===== Explain =====


Ett koncept: Implikation, ekvivalens och satsers omvändning.
Bevisa det som går och prata om det som inte går.
 
Använd papper och penna och linjal eller GGB.
 
== Lektionstips från Kina ==
 
=== Inspirationsföreläsning: Mathematical Knowledge for Teaching, MKT - Erika ===
 
'''MKT-koceptet:''' [http://www.math.ksu.edu/~bennett/onlinehw/qcenter/ballmkt.pdf Deborah Loewenberg Ball,
Mark Hoover Thames, Geoffrey Phelps, Content Knowledge for Teaching: What makes i t Special]. Äggfiguren finns på sid 403
 
=== Genomförande ===
 
Antag att 4/x + 1/y = 1
 
Eleverna får som läxa att fundera över möjliga lösningar
 
Under lektionen får eleverna arbeta två och två.
 
Läraren väljer en tre fyra lösningar och skickar fram eleverna att redovisa på en del av tavlan, alternativt med projektor
 
Fyra lösningar på tavlan. Läraren uppehåller sig länge vid en felaktig lösning. Det gör det lättare för läraren att förstå hur elever tänker.  


Utforska rektanglar och parallellogrammer. Likheter och olikheter. Diagonaler, areor, omkretser, bisektriser, vinkelsummor. Specialfall, romb, kvadrat.  
'''Förutsättning''': Matematisk vigör hos läraren. Läraren bra på många olika lösningar. Kinesiska lärare bra på att planera lektioner.


Spel som parar ihop olika egenskaper.  
<ggb_applet width="397" height="446"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />


Koppla ihop ekvivalens och implikationen med
== Lektioner med - Myror ==
Koppla ihop påståenden med figur.
===== Ex =====  
Om vi har en parallellogtram. Diagonalerna delar varandra i två lika delar.
Om vi hare en parallellogram xxx Diagonalerna är vinkelräta.


==== Grupp 4 ====
=== Tivolifysik ===


===== Förkunskaper =====
Telefon-app: AccelGraph.


Gruppaktiviteter efter att man gjort randvinkelsatsen. Använder även yttervinkelsatsen och basvinkelsatsen.
[http://tivoli.fysik.org/groena_lund/ Tivoli-fysik]


===== Gruppuppgifter =====
Centrepital a<sub>c</sub> = v<sup>2</sup>/r


Det finska felaktiga problemet. Rita och beräkan.  
Whiplash, [http://sv.wikipedia.org/wiki/Klotoid klotoider], Euler


Ett andra är den inskrivna fyrhörningen. (sax)
Logger Pro 3, Vernier, WDSS (sensor)


Klassiker. De omöjliga trianglarna. (areorna som inte stämmer) eller något liknande.
Magnetpbroms, Virvelströmmar i mässingsplattor. Inducerad ström proportionell mot farten. INgen friktion men energin omvandlas till värme, inducerad ström.


Konstruera en triangel med omkretsen O = b cm och A = b cm<sup>2</sup>.
=== Program ===


===== Explain =====
* NeoOfficeCalc = Officepaket för Mac.
* [http://freemat.sourceforge.net/ FreeMat]
* [http://www.mathworks.se/programs/nrd/matlab-trial-request.html?s_cid=adw_se_search_matlab_trial4 Matlab]


Bevisa det som går och prata om det som inte går.
=== Lektion med myror och rörelser 1 ===


Använd papper och penna och linjal eller GGB.
1 a Gissa vägen, skissa


=== Mathematical Knowledge for Teaching, MKT - Erika ===
b Gissa längden


MKT-koceptet: [http://jte.sagepub.com/content/59/5/389.abstract  Ball, D, Content Knowledge for Teaching: What makes i t Special?]
2 Myror på roterande skiva


==== Lärarens kunskaper är en nyckelfaktor ====
Bestäm vägen och längden av vägen. Tre olika avstånd från centrum.


==== Vilka kunskaper behöver en lärare för att undervisa matematik ====
3 Hur ser myrans väg ut om myran rör sig in mot centrum under rotation av skivan


==== Hur kan lärares kunskaper beskrivas? ====
4 Explain/explore


==== Ett exempel från Kina ====
Uttrycka läget som sinus och cosinus. Sätt axlarna, gränserna på + - 1.


Antag att 4/x + 1/y = 1
Matlab eller liknande program


Fyra lösningar på tavlan. Läraren uppehåller sig länge vid en felaktig lösning. Det gör det lättare för läraren att förstå hur elever tänker.
Elaborate: Res skivan upp och rulla. Hur rör sig myran nu?


Matematisk vigör. Läraren bra på många olika lösningar. kinesiska lärare bra på att planera lektioner.
=== Myror och rörelse 2 ===


=== Tivolifysik ===
1 Läge att introducera enhetscirkel och polära koordinater


Telefon-app: AccelGraph.
Nu slutför man beräkningarna av längden från upp 1 i första lektionen. Pythagoras sats används för att beräkna.


[http://tivoli.fysik.org/groena_lund/ Tivoli-fysik]
2 Cykloiden.


Centrepital a<sub>c</sub> = v<sup>2</sup>/r
== Lektion om cykloider ==


Whiplash, klotoid, Euler
Inspirerade av Gröna Lunds tekoppar tittade vi på cykloider.


Logger Pro 3, Vernier, WDSS (sensor)
'''Engage''': ?


Magnetpbroms, Virvelströmmar i mässingsplattor. Inducerad ström proportionell mot farten. INgen friktion men energin omvandlas till värme, inducerad ström.
'''Explore''': Rund pappskiva på tavlan med penna och rita på papper. Lägga ut snöre och mäta banans längd. Inse att den är ungefär 8r. Leta på nätet och hitta formel.


==== Grupp 3 om tivolifysik ====
Punkten på skivan kan även sitta en bit in. Undersök.


Inspirerade av Gröna Lunds tekoppar tittade vi på cyklider.
Även filma ett cykelhjul och ta fram cykloidkurvan i datorn.


'''Explain'''
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Cykloid
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Cykloid
* http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html
* http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=cycloid
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=cycloid
* [ http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D2%28t-sint%29%2C+y%3D2%281-cost%29 WolframAlpha]
* Se även http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem


Tänkbar undersökning. Den klassiska skejtrampen har en cykloid form. Gå till en ramp och mät längden på banan och höjden.
Funktion: x=arccos(1-y)-(y-y^2)^.5
 
'''Explore''': tänkbar undersökning. Den klassiska skejtrampen har en cykloid form. Gå till en ramp och mät längden på banan och höjden.


'''Expand''': Gå in på http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html välj en kurva och sätt in i GGB med glidare.
'''Expand''': Gå in på http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html välj en kurva och sätt in i GGB med glidare.


== Länkar ==
Exempel: Pear-shaped Quartic
 
<ggb_applet width="421" height="435"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
== Lektion i geometri - Randvinkelsatsen ==
 
'''Teori:''' Jana Madjarovas geometriföreläsning fanns på papper.
 
Geometri
 
2b/2C
 
Randvinkelsatsen


Kleinbloggen. Öppna fria att översätta och använda som man vill.
1 Undersöka trianglar. Konstruera rätvinkliga trianglar med given bas och höjd.


Felix Kleins bok inspirera matematiklärare.
2


[http://skm.kva.se/ PÅ SKM finns förra årets lektioner]
''Se vidare anteckningar på papper''
 
=== Lektionstips och idéer - Geometri ===
 
* Begreppens betydelse. Är en kvadrat en rektangel?
* Läxförhör på definitioner
* Formulera satser
* Bevisa Pythagoras omvändelse
* Elevuppgift: Rita alla geometriska figurer och namnge dem.
* Genomgång: Komplettering. Strukturera.
* Återkoppla i senare undervisning.
* Parövning: Elever rygg mot rygg. en beskriver ett geometriskt objekt och den andre ska rita det den hör. Detta har jag gjort i åk5 men om man har med bisektriser och liknande blir det svårt nog. Det kan funka som en skriftlig övning som hemuppgift.
* Rita gissa spring?
* Etymologi.
 
=== Lektionstips  geometri - knyt ekvivalens  mm till geometriska objekt ===
 
Ett koncept: Implikation, ekvivalens och satsers omvändning.
 
Utforska rektanglar och parallellogrammer. Likheter och olikheter. Diagonaler, areor, omkretser, bisektriser, vinkelsummor. Specialfall, romb, kvadrat.
 
Spel som parar ihop olika egenskaper.
 
Koppla ihop ekvivalens och implikationen med
Koppla ihop påståenden med figur.
==== Ex ====
Om vi har en parallellogtram. Diagonalerna delar varandra i två lika delar.  
 
Om vi hare en parallellogram xxx Diagonalerna är vinkelräta.

Nuvarande version från 12 januari 2018 kl. 13.37

Titelsidan för Henry Billingsley's första engelska version av Euklides Elementa, 1570. Läs den svenska utgåvan från 1844 på Projekt Runeberg

Syfte

Denna sida innehåller anteckningar och reflektioner från Kleindagarna 2012 som arrangerades av Svenska kommittén för matematikutbildning på Institut Mittag-Leffler. Kleindagarna stöds även av Nationalkommittén för matematik och Mattebron

Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Min tanke nu (23 juni) är att redigera om sidan till fyra eller fler lektionsförslag utifrån mina tankar. Det innebär att jag kommer att ta bort en del för att skapa överblick. Mina oredigerade anteckningar finns här: (länk till tidigare version).

Lektionerna från förra året finns här på SKM. De är fria att översätta och använda som man vill. Vi uppmuntras även att skriva vinjetter.

De fem E:na

Samuel tipsade om att en lektion gärna kan struktureras så att den innehåller komponenter med följande inriktningar.

  • Engage
  • Explore
  • Explain
  • Elaborate
  • Evaluate

Lektion abstrakt algebra - Grupper

Teoriföreläsning: Abstrakt algebra, Veronica Crispin

Begrepp

  • Kommutativ
  • Associativ

Läs mer om grupper

Kryptografi via grupp på elliptiska kurvor

Garfaen för y2=x3-x+1 visas nedan:

<ggb_applet width="348" height="334" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAG2Qz0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAG2Qz0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1svVdtj9M4EP4Mv2KUT6DbbuPYSVuUgg4kdEgLd9Jyp9MhkNzEbc2mcWQ7fUH8+BvbSZouHOLE6art+mXG8/6M3fzZcVfBXmgjVb2MyHUcgagLVcp6s4xau57Mo2dPH+YboTZipTmsld5xu4yY45QlThgVa7YWk2KxZhOWZXQyF6t0QsS8LEqWLRZlGgEcjXxSqzd8J0zDC3FbbMWO36iCW694a23zZDo9HA7XvaprpTfTzWZ1fTRlBGhmbZZRN3mC4i4OHahnT+KYTP98fRPET2RtLK8LEYFzoZVPHz7ID7Iu1QEOsrTbZUTTLIKtkJut82k2i2DqmBoMSCMKK/fC4NHR0vtsd03k2Xjt6A/CDKrBnQhKuZel0MsovsYQMDpP4iRhM7IgESgtRW07VtKpnPbC8r0UhyDVzUKQI7BKVSvuBMLnz4DSYrhyAwlDgkOWBVIc9mIahiQMLAxp4GHhOAusLPCwwMNoBHtp5KoSy2jNK4MBlPVaY/KGtbGnSnh7uo2z8+QKfTLyEzKTdBFBiDgu4vjKfTP8sjgOfo+cJCOtVrf/UmmvkrL596tMfshR2utM2FfcTNJ/cDP7htLg9/f4SdL4rBNV+T///UIj/Zab9zWG9Y8pzNj/4mI+7aGSd+gAs3W8XfVYsTMOL3QB6cKVPYEUsZHNsMpTIAscZgkgGoCkwFJckjlkbpwBnSGBAYU5OD5CwYMjneM/NvPCMkhRmNudISaBoCIGKQXiMcUAkQQel4jRhCJHmkKKh5x6kjgRNAOW4YrOgaGNDpIzgowUD+Ia1SdACVB3mMwgySBz8ghzUM/mznQUmUAWQ0acQEQ1IjqgGfnnQJ03WRcuWTetvQhRsSv7qVXNkAvkxn50bnqhP130xAd5xVeiwmvi1mUSYM8rhwivaK1qC30Ss7C30bzZysLcCmvxlIGPfM9vuBXHl8htet2et1C1+U0r+0JV7a42AIWq4sFmVZHRPBmsxgUdEdiYkI4I2Wg++6pehRRojUD9SpuenZflK8dxbg0YyV/r6vRcC37XKHnpRj71N04u2qKSpeT1H1isTouLCwwXkGtX/QVE46w3ROny9mSwguH4l9AK40jxyh1/MKunjpTG14vxB68xU3AHPqRcHMKWdepIbHF5aB5Ui/2QIX4Ug/MbLcvx/JV5rqpyCIX3/gVvbKv9ywH1aOfTz/WmEr5CPK7xWi7uVup4G0qDBllvTw2u4qB/tfFRB+wMSYovBxSGN1IEK+dnV1/OsIEr9jyx54j7WpPlF1Lc6QspWLzBtM5R0ntJ4l6NNL6fxdEFanzlu0u+raW96RdWFndnTx3/m3a3EkP9XIok/5HIfHqvvvI7oWtRdeWMiWxVawI6R5VeikLucBkISWecS9bvaEDYLcVGi97uyr/JQrg8NR5X6hfbXtRLrXav6v1brIR7BuTT3srcFFo2rt5ghVfAnTjXVCkNxxukHJ9z+EPXC3dTYHisCw0is7Vbpf2zCxsKjg52ldjhKwusLy65aypZSNuo6jREm/tHnAsrqNVHbG33sjGKF9KHgvKFNCo54FWz5e6l1zlf8ZPQF+HwAl+r8n6QMAfeEwR6E3LcCBGqw3aggAbFeUyNzMHepMfdvIsYCm/x0OnDo+QxLOH44RF9DBM4wk9APPWM4XsIsNia7/D9iZWVjnS7yS+yLIW/lruEi/UaQ4mxNaCd2VxrfvKhxyC8ezfBHxFXGIsrHN9fvetXsV/FF6vJmPi+u3e6xLnpONu+oXY/DZ7+DVBLBwi/zlCeLAUAALcMAABQSwECFAAUAAgACABtkM9A1je9uRkAAAAXAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAG2Qz0C/zlCeLAUAALcMAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF0AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAAwwUAAAAA" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0

Lektionens genomförande

Kurs 3C

Facebook – gemensamma vänner

- Operation – Symbol – träd (engage)

- 2 objekt

- Andra operationer

- De fyra räknesätten

- Kanske förslag på sinus, roten ur

- Fortsätt att skapa operationer med de fyra räknesätten

- Undersök kommutativitet

Tal Allmännt

3+4=4+3 a+b =b+a

3-14 inte = 4-3

Sen undersöka Associativitet

(3/4)/5 = 3/(4/5) ?

Utvecklade binära operationer

(a+b)^2

Rot(ab)

Använd inte *för operationen. Hjärta, smiley, …

Undersök ett av elevernas förslag map komm och associativ.

Tal  allmänt

Grupper om tre. De får ett par saker att undersöka. Det kommer att finnas sex olika.

Avsluta med att visa lösningarna på tavlan.

Sedan åter till gemensamm fb-vänner

Konstatera att de är både komm och ass

Hemläxa att eleverna hittar på egen operation

Lektionstips 1 - Abstrakt algebra

Tolka definitioner

Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion

Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen

Obs olika representationer.

Konkreta exempel behövs.

Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.

Lektionstips 2 - Abstrakt algebra

Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner

Nollan, ettan och oändligheten.

1/[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
1/0
[math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]


logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel

inversa funktioner

Sjöfarten, logaritmtabeller

Lektionstips 3 - Abstrakt algebra

Kurs 1

Undersöka. Vilka är sanna?

Alla stämmer någon gång men inte alltid.

  • a+b = b+a
  • a-b = b-a
  • ab = ba
  • a/b = b/a

Hitta geometriska förklaringar

På samma sätt: distributiva, associoiativa

a/(b+c) = a/b + a/c

Dela en kaka i elevantalet. Sen kommer eleverna sent. Hur gör man då?

Uppgift: Hitta på en egen operation och kolla om det gäller.

Skulle kunna vara att personerna A och B jämför sina FB-kompisar. Sedan A och C. Vad säger det om B och C?

Det finns oändligt många räkneregler som är sanna någon gång.

Kurs 2 Repetition i samband med algebra.

Explore

Finn fem fel

Första kvadreringsfelet: (a+b)2 = a2 + b2
Andra kvadreringsfelet (2a)2 = 2a2

Vilka räkneregler finns det som är användbara?

Evaluate

Skriv sanning på formelblad

Lektion med laborativa delar - Mäta solhöjden

Lektion i statistik - Strecket

Statistikteori

pi och e

Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.

Centrala gränsvärdessatsen förklarar detta.

Ladislaus von Bortkiewicz

Antalet preussiska kavallerister ihjälsparkade av sin hästar.

Antal dödsfall, antal pro

0 109 0.545
1 65 0.325
2 22 0.11
3 3 0.015
4 1 0.005

Användbart på gymn ?

Sannolikhetsträd för kasta krona

p2 | P(1-p) | (1-p)p | (1-p)2

Hur kommer det sig att [math]\displaystyle{ \pi }[/math] och [math]\displaystyle{ e }[/math] dyker upp hela tiden?

Possionfördelning

P som funktion av heltalen x för λ=m=1, 4 och 10.

Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Den approximerar binomialfördelningen om [math]\displaystyle{ n }[/math] är stort och [math]\displaystyle{ p }[/math] är litet (tumregel: om [math]\displaystyle{ p \lt 0.1 }[/math] kan den aktuella binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(λ=m) där [math]\displaystyle{ m=np }[/math]), där n = antalet försök och p = sannolikheten att den efterfrågade händelsen ska inträffa. Sannolikhetsfunktionen är

[math]\displaystyle{ {P(X=x) =} {{e^{-\lambda} \lambda^x} \over x!}. }[/math]

Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen på sv WP. Sidan behöver utökas...

Normalförelningen

Normalfördelningen har täthetsfunktionen

Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²
[math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math],

där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se Läs mer

Qlucore

Programmet R

Företaget Qlucore

NCBI har fria data som man kan använda

Läs Nature och testa.

Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.

Stora datamängder: Helgenomundersökningar (3 109 baspar) med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.

Lektionens genomförande - Strecket - gruppens redovisning

  1. Inledning, dra streck
  2. Excel, lärare
  3. Median, medelv, Typvärde
  4. Visualisera
    1. osorterat
    2. sorterat. platå innebär kanske norm fördeln
    3. Elever + lärare histogram. Typvärde ointressant
  5. Slutrsats att måste ha mer data
    1. dels på egna skolan
    2. dels från andra skolor som finns på nätet
  6. Utvidga. Hur stor procent skulle dra kortare än 7 cm? Kan man komma med en hypotes fr materialet och testa den?

Lektionsförslag - Strecket - grupparbetet

Pen stroke with gel refill

Engage

Idag ska vi göra enklaste möjliga övning men ändå komma att se fantastisk matematik.

Det första vi ska göra är att dra ett streck på ett papper.

Kommentar: Eleverna ska vara så lite informerade som möjligt om vad strecket ska vara till.

Explore - Explain

Det kommer att växla mellan Explore - Explain.

Dra ett rakt streck på ett papper.

  1. A4-papper.
  2. Varje elev drar ett streck
  3. Mät längden i mm. Mät avståndet mellan ändpunkterna
  4. Rapportera till läraren som skriver upp värdena på tavlan. Utan struktur.
  5. Visa Excel el likn med projektor och anteckna värdena som eleverna rapporterar
    1. Kön (det enda eleverna behöver skriva
    2. Längden
  6. Värdena osorterat. Fråga eleverna vad man kan göra med data. De föreslår förmodligen medelvärde osv. Beräkna medelvärde
  7. Hitogram. för att åskådliggöra.
  8. Sortera efter längd
  9. Histogram. Indelat i klasser.
    1. GGB. Dela in i lagom antal klasser. Klassbredden kan vara 10 % av intervallet, dvs omkring 10 klasser.
    2. Länkar, boken.
    3. MalinC om normalfördelningen
  10. Titta om det är någon skillnad på kön
  11. Vi har ett stickprov av alla streck som kunde dras. Kan vi jämföra detta med något annat. Titta på något mer.
  12. Om vi skulle gå ut på stan, hur många procent skulle då dra streck kortare än 7 cm. Man kan pröva denna hypotes i en annan klass.
  13. Tror vi att det är normalfördelat.
  14. Vilket är det normalaste strecket?

Explain

Att diskutera utifrån materialet

  • Medelvärde, median, min-, max-värde, kvartiler, standardavvikelse.
  • Vad innebär normalfördelning?

Elaborate

Titta i nationella data.

T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser.

Tävling: Närmast väntevärdet vinner.

Evaluate

Rapportera in till SKM

  • Program
  • Län (skolans)

Lösa tankar och tips statistik

Kolla på normalfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.

börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)

Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.

Samla in data med sensorer

Boktips: Euler, The Master of us all

Lektion Geometri - Linjen och cirkeln

Kurs Ma1C, Ma2B

Problematisera det uppenbara att en rät linje bara kan skära cirkeln i max två punkter.

Dubbelt onödigt enligt elever.

Men nödvändigt öva att argumentera.

Varför är det nödvändigt att argumentera och bevisa saker?

Finns det något som är enklare och mer relevant.

Praktiskt: ställ tre elever på en cirkel och fråga om de kan befinna sig på en rät linje.

Man måste börja med postulaten, dvs vad vet vi från början. Definitionen av cirkeln. Börja prata om det? Och vad är en rät linje.

Explore: På hur många olika sätt kan man dra en rät linje i förhållande till en cirkel?

Leder till att definiera cirkel, rät linje, mittpunkt, rät vinkel, radie, diameter.

Hur vet vi att det inte finns tre skärningspunkter.

Arbete i grupper. Utan passare och linjal.

Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter.

Sedan fästa blicken på att man använder basvinkelsatsen.

Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan.

Dataspelskoppling: hur ritar man en cirkel i GGb? Hur kan man cva säker på att det alltid blir en cirkel utifrån tre punkter? Å i så fall kan det inte vara en rät linje som går igenom punkterna på cirkeln. Sedan dessutom titta på hur en cirkel skapas i javascript.

Dataspelsingång: Du har tre motståndare som står på en cirkel. Du står utanför cirkeln. Kan du skjuta alla tre motståndare med ett skott.

Explain: Basvinkelsatsen.

Expand: Hur vet vi att basvinkelsatsen gäller?

Explain

Bevisa det som går och prata om det som inte går.

Använd papper och penna och linjal eller GGB.

Lektionstips från Kina

Inspirationsföreläsning: Mathematical Knowledge for Teaching, MKT - Erika

MKT-koceptet: [http://www.math.ksu.edu/~bennett/onlinehw/qcenter/ballmkt.pdf Deborah Loewenberg Ball, Mark Hoover Thames, Geoffrey Phelps, Content Knowledge for Teaching: What makes i t Special]. Äggfiguren finns på sid 403

Genomförande

Antag att 4/x + 1/y = 1

Eleverna får som läxa att fundera över möjliga lösningar

Under lektionen får eleverna arbeta två och två.

Läraren väljer en tre fyra lösningar och skickar fram eleverna att redovisa på en del av tavlan, alternativt med projektor

Fyra lösningar på tavlan. Läraren uppehåller sig länge vid en felaktig lösning. Det gör det lättare för läraren att förstå hur elever tänker.

Förutsättning: Matematisk vigör hos läraren. Läraren bra på många olika lösningar. Kinesiska lärare bra på att planera lektioner.

<ggb_applet width="397" height="446" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Lektioner med - Myror

Tivolifysik

Telefon-app: AccelGraph.

Tivoli-fysik

Centrepital ac = v2/r

Whiplash, klotoider, Euler

Logger Pro 3, Vernier, WDSS (sensor)

Magnetpbroms, Virvelströmmar i mässingsplattor. Inducerad ström proportionell mot farten. INgen friktion men energin omvandlas till värme, inducerad ström.

Program

Lektion med myror och rörelser 1

1 a Gissa vägen, skissa

b Gissa längden

2 Myror på roterande skiva

Bestäm vägen och längden av vägen. Tre olika avstånd från centrum.

3 Hur ser myrans väg ut om myran rör sig in mot centrum under rotation av skivan

4 Explain/explore

Uttrycka läget som sinus och cosinus. Sätt axlarna, gränserna på + - 1.

Matlab eller liknande program

Elaborate: Res skivan upp och rulla. Hur rör sig myran nu?

Myror och rörelse 2

1 Läge att introducera enhetscirkel och polära koordinater

Nu slutför man beräkningarna av längden från upp 1 i första lektionen. Pythagoras sats används för att beräkna.

2 Cykloiden.

Lektion om cykloider

Inspirerade av Gröna Lunds tekoppar tittade vi på cykloider.

Engage: ?

Explore: Rund pappskiva på tavlan med penna och rita på papper. Lägga ut snöre och mäta banans längd. Inse att den är ungefär 8r. Leta på nätet och hitta formel.

Punkten på skivan kan även sitta en bit in. Undersök.

Även filma ett cykelhjul och ta fram cykloidkurvan i datorn.

Explain

Funktion: x=arccos(1-y)-(y-y^2)^.5

Explore: tänkbar undersökning. Den klassiska skejtrampen har en cykloid form. Gå till en ramp och mät längden på banan och höjden.

Expand: Gå in på http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html välj en kurva och sätt in i GGB med glidare.

Exempel: Pear-shaped Quartic

<ggb_applet width="421" height="435" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Lektion i geometri - Randvinkelsatsen

Teori: Jana Madjarovas geometriföreläsning fanns på papper.

Geometri

2b/2C

Randvinkelsatsen

1 Undersöka trianglar. Konstruera rätvinkliga trianglar med given bas och höjd.

2

Se vidare anteckningar på papper

Lektionstips och idéer - Geometri

  • Begreppens betydelse. Är en kvadrat en rektangel?
  • Läxförhör på definitioner
  • Formulera satser
  • Bevisa Pythagoras omvändelse
  • Elevuppgift: Rita alla geometriska figurer och namnge dem.
  • Genomgång: Komplettering. Strukturera.
  • Återkoppla i senare undervisning.
  • Parövning: Elever rygg mot rygg. en beskriver ett geometriskt objekt och den andre ska rita det den hör. Detta har jag gjort i åk5 men om man har med bisektriser och liknande blir det svårt nog. Det kan funka som en skriftlig övning som hemuppgift.
  • Rita gissa spring?
  • Etymologi.

Lektionstips geometri - knyt ekvivalens mm till geometriska objekt

Ett koncept: Implikation, ekvivalens och satsers omvändning.

Utforska rektanglar och parallellogrammer. Likheter och olikheter. Diagonaler, areor, omkretser, bisektriser, vinkelsummor. Specialfall, romb, kvadrat.

Spel som parar ihop olika egenskaper.

Koppla ihop ekvivalens och implikationen med Koppla ihop påståenden med figur.

Ex

Om vi har en parallellogtram. Diagonalerna delar varandra i två lika delar.

Om vi hare en parallellogram xxx Diagonalerna är vinkelräta.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Kleindagarna_2012&oldid=44293”