Introduktion till derivatan med problemlösning: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 6: | Rad 6: | ||
Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. '''Sätt igång!''' | Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. '''Sätt igång!''' | ||
= Teori = | |||
== Deriveringsregler == | == Deriveringsregler == | ||
| Rad 55: | Rad 57: | ||
{{lnkruta|Dessa och fler deriveringsregler hittar du på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element.C3.A4ra_funktionernas_derivator wikipedia]. | {{lnkruta|Dessa och fler deriveringsregler hittar du på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element.C3.A4ra_funktionernas_derivator wikipedia]. | ||
Besök gärna [http://wikieducator.org/Math_Tables_and_Formulas/Calculus/Common_Derivatives WikiEducator]}} | Besök gärna [http://wikieducator.org/Math_Tables_and_Formulas/Calculus/Common_Derivatives WikiEducator]}} | ||
= Lär mer = | = Lär mer = | ||
Versionen från 8 oktober 2018 kl. 08.19
Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt:
- Först en frågeställning
- Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet
- Därefter lär vi oss derivera
- Slutligen kommer derivatans definition
Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. Sätt igång!
Teori
Deriveringsregler
Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.
Deriveringsregler:
- Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x\, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 1 }[/math].
- Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^2, }[/math] är funktionen [math]\displaystyle{ f^\prime(x) = 2x }[/math].
- Det kan generaliseras till att funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] har derivatan [math]\displaystyle{ (f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1} }[/math].
- Derivatan av [math]\displaystyle{ e^{kx}\ }[/math] är [math]\displaystyle{ ke^{kx} }[/math].
- Derivatan av [math]\displaystyle{ a^x\, }[/math] är [math]\displaystyle{ a^x \ln(a) }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] är [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] = [math]\displaystyle{ -\sin(x) }[/math]
| Uppgift |
|---|
Derivera följande funktioner:
|
Additionsregeln
Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
- [math]\displaystyle{ (f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime. }[/math]
Linjäritet
En konstant (c) kan flyttas ut ur deriveringen:
- [math]\displaystyle{ (c \cdot f)^\prime = c \cdot f^\prime. }[/math]
Produktregeln
Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.
- [math]\displaystyle{ (f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f. }[/math]
Kvotregeln
Derivatan av kvoten [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] ges av följande funktion:
- [math]\displaystyle{ \frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]
Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln)
En sammansatt funktion f(g(x)) är en funktion f(x) som har en annan funktion g(x) som sitt argument, istället för en variabel som x. Detta kan även skrivas [math]\displaystyle{ (f \circ g)(x) }[/math] för att förtydliga att g inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln x. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet kedjeregeln:
- [math]\displaystyle{ (f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime. }[/math]
Lär mer
Läs om en av upphovsmännen tillderivatan
En widget som deriverar
|
Här är en widget som deriverar åt dig. Pröva den gärna.
|
id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}} |
