Integraler Ma4: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 192: Rad 192:
{{uppgruta| '''Vad är <math> \lambda</math>?'''
{{uppgruta| '''Vad är <math> \lambda</math>?'''


Läs på {{svewp| Exponentialfördelning}} och ta reda på hur <math> \lambda</math> förhåller sig till:
Läs på {{svwp| Exponentialfördelning}} och ta reda på hur <math> \lambda</math> förhåller sig till:
# medelvärdet
# medelvärdet
# standardavvikelsen
# standardavvikelsen
}}
}}

Versionen från 11 februari 2015 kl. 22.04

Förförståelsetest med NP-uppgifter

Följande uppgifter kommer från NP till den äldre kursen Matematik D. Tillstånd har inhämtats från Skolverket för dess publicering (under CC) på denna sida.

Ett kort test med uppgifter som testar förståelsen.

Fler uppgifter från nationella prov

Här är en samling uppgifter med integraler från gamla nationella prov:

Du kan printa denna! Integraluppg. fr NP


Formelsamling på WikiBooks

Derivator och primitiva funktioner i en behändig formelsamling:

Integral och area

Ma4: Tillämpningar, sidan 152-158


Hemuppgift

Gör bokens övning på sid 158.

Den handlar om arean under funktion

[math]\displaystyle{ f(x) = \cos(kx) }[/math]

mellan skärningspunkterna med x-axeln.

k varierar från 1 till 5.

Länk till GeoGebraTube

Integralens värde och tillämpningar

Fritt fall

Titta gärna på wikipediatexten om fritt fall som ligger på förra avsnittet om diffekvationer.

Ma4: Tillämpningar, sidan 159-163


Fysik och integraler - Hemuppgift

Uppgift
Fysik och integraler

Lös någon eller några av uppgifterna hemma. Välj sedan en som du gör en snygg skriftlig redovisning av.

Du ska vara beredd att gå fram och redovisa uppgiftens lösning på tavlan.

Uppgifterna med sträcka hastighet är nog enklast. Du får sträckan genom att integrera hastighetsfunktionen.

Problemlösning Fysik och Integraler

Redovisning: På tavlan.



Numerisk lösning av integraler

Ma4: Numerisk, sidan 164-169


Numerisk lösning av integraler

Trapetsmetoden för lösning av integraler. Av Tomas Severin, Youtubelicens.

Läs vad Wikipedia skriver om Trapetsmetoden

Hemuppgift trapetsmetoden

Uppgift: En NP-uppgift med trapetsmetoden

Lös den här uppgiften hemma.

Integraluppgift från Nationellt prov, kurs D,vt 1999

Räkna även ut integralens värde med trapetsmetoden.

Var beredd att redovisa din lösning vid tavlan. Dina frågor och kommentarer kommer även att vara till nytta när vi diskuterar uppgiften grundligt.

Facit: (klicka expandera till höger)

Läs inte den här ledtråden förrän du har försökt själv med uppgiften. Lösningsförslaget i den länakde sidan är en GeoGebra som ska vara underlag för en diskussion på lektionen. Lösningsförslag till NP-uppgift fr vt 1999



Prova en svårlöslig integral med digitala verktyg

Kan du lösa denna integral analytiskt?

[math]\displaystyle{ \int {\sin(x^2)dx} }[/math]

Det är svårt att finna en primitiv funktion, eller hur?

Prova att lösa den med WolframAlpha och GeoGebra.

Läs mer här.

Formativ lektionskontroll

Alla gör denna uppgift för hand så jag kan se att de förstår detta.
  • Om allt gått väl kan alla nu lösa denna uppgift. I så fall kan vi gå vidare.
  • Om det är många som inte kan detta måste vi repetera. Vi måste också diskutera, utvärdera och komma överens om hur vi ska göra för att lära oss detta.
  • Om de flesta men inte alla kan detta kommer vi att gå vidare i klassen. De som ännu inte klarar detta får diskutera med mig hur de kan göra för att komma vidare.

Lösningsförslag till NP E 1996 Integraluppgift

Sannolikheter med integraler

Definition

Normalfördelningen
Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²

Normalfördelningen har täthetsfunktionen

[math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math],

där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].

Normalfördelningens täthetsfunktion kan inte integreras med vanliga endimensionella metoder eftersom den inte har någon primitiv funktion som kan uttryckas analytiskt. Arean under kurvan kan emellertid med andra metoder visas vara 1, vilket den måste vara för att vara en sannolikhetsfördelning.

En standardiserad normalfördelning har μ = 0 och σ = 1.

Filmer

Sannolikheter och integraler. Tomas Sverinn, standard Youtubelicens.
Ma4 Normalfördelningen. Polhemsjocke, standard Youtubelicens.
Täthetsfunktioner. MDAGlobalaGy, Creative Commons.


Exempel 1 i boken

Hemuppgift - Normalfördelning

Är detta en normalförelning?

Lös uppgiften till höger.

Är det en normalfördelning och hur vet du det?

Använd datorn till att redovisa ditt svar.

Var beredd att presentera din lösning med projektor.

GeoGebra-förslag till lösning - NP Ma D Normalfödelning

Bedömningsanvisning från NP

Redovisad godtagbar förklaring, t ex integralens värde anger den totala ökningen av antalet bin under 24 veckor

http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/D-kursprov-ht03.pdf

Exponentialfördelningen

Täthetsfunktion
Ma4: Exponentialfördelningen , sidan 172-173


Exponentialfördelningen är kontinuerlig sannolikhetsfördelning med täthetsfunktionen

[math]\displaystyle{ f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x \lt 0. \end{cases} }[/math]

Exempel på variabler som är approximativt exponentialfördelade är

  • Tiden tills någon råkar ut för sin nästa bilolycka
  • Tiden tills någon får sitt nästa telefonsamtal
  • Avståndet mellan mutationer på en DNA-sträng

En viktig egenskap hos exponentialfördelningen är att den "saknar minne". Med andra ord, chansen att tillståndet kommer att förändras inom de nästa s sekunderna påverkas inte av den tid som redan förflutit.

Hemuppgift

Uppgift
Vad är [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]?

Läs på Wikipedia skriver om Exponentialfördelning och ta reda på hur [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] förhåller sig till:

  1. medelvärdet
  2. standardavvikelsen