Exponentialekvationer

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Mål för undervisningen xxx

Här undersöker vi xxx.

Swayen till detta avsnitt: Exponentialekvationer


läromedel: Exponentialekvationer



Teori

Exempel på exponentialekvationer
Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg

Skillnaden funktion - ekvation

Vilke är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math] är en exponentialfunktion


Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

[math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet }[/math]

där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

  • [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]

Grafisk löning

Exempel 1

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

  1. Sätt in x = 0 så får du C
  2. Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a
Uppgift
Lös upppgiften ovan med GeoGebra

Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math]

Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.

Dsa i glidarna och finn lösningen.


Vatten i termos

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

Logaritmera ekvationer

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Aktivitet

Uppgift
Lös verkliga problem

Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.

Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar


Lär mer

Exit ticket