Exponentialekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 10: Rad 10:


=== Skillnaden funktion - ekvation ===
=== Skillnaden funktion - ekvation ===
Vilke är egentiligen skillnaden mellan en exponential'''funktion''' och en exponential'''ekvation'''?
Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponential'''funktion''' och en exponential'''ekvation'''?
 
Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.
 
Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).


{{defruta|
{{defruta|

Versionen från 14 februari 2018 kl. 21.54

Mål för undervisningen Exponentialekvationer

Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering.


Teori

Exempel på exponentialekvationer
Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg

Skillnaden funktion - ekvation

Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?

Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.

Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).

Definition
[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math] är en exponentialfunktion


[math]\displaystyle{ C \cdot a^{x} = B }[/math] är en exponentialekvation


Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

[math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet }[/math]

där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

  • [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]

Logaritmera ekvationer

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y

Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y

Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

Exempel

Lös ekvationen 102x = 200

Logaritmering av båda sidorna ger

log 102x = log 200

2x = log 200

x = log (200) /2

Aktivitet

Uppgift
Lös verkliga problem

Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.

Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar


Laboration - Kaffe i termos

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

Uppgift
Ett praktiskt experiment

Skaffa en termomenter avnågot slag och brygg en het kopp kaffe.

Mät temperaturen vid minst fem tidpunkter.

Gör en kurvanpassning enligt ovan.

Vilken exponentialfunktion får du?

Lär mer

Swayen till detta avsnitt: Exponentialekvationer


läromedel: Exponentialekvationer



Hitta funktionen grafiskt med GeoGebra

Uppgift
Bestäm funktionen algebraiskt eller med GeoGebra

Bestäm exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

Algebraiskt

Du behöver beräkan a och C.

  1. Sätt in [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] så får du C
  2. Sätt in [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math] och [math]\displaystyle{ y = 6 }[/math] i funktionen och räkna ut a

Grafiskt

Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math]

Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.

Dra i glidarna och finn lösningen.


Exit ticket