Exponentialekvationer: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 19: | Rad 19: | ||
{{defruta| | {{defruta| | ||
: <math>f(x) = C \cdot a^{x}</math> är en '''exponentialfunktion''' | : <math>f(x) = C \cdot a^{x}</math> är en '''exponentialfunktion''' | ||
<br /> | |||
: <math> C \cdot a^{x}</math> = B är en '''exponentialekvation''' | |||
}} | |||
'''Exponentialfunktioner''' är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ''ränta på ränta'' beräknas som | '''Exponentialfunktioner''' är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ''ränta på ränta'' beräknas som | ||
| Rad 31: | Rad 34: | ||
* <math>f(x) = C \cdot a^{x}</math> | * <math>f(x) = C \cdot a^{x}</math> | ||
* <math>f(x) = e^{kx + a}</math> | * <math>f(x) = e^{kx + a}</math> | ||
=== Logaritmera ekvationer === | |||
Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna. | |||
Varför är det så? | |||
Om 10<sup>2a+3b</sup> = 10<sup>y</sup> så innebär det att 2a+3b = y | |||
Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y | |||
Om log 10<sup>x</sup> = log 27 så innebär det att 10<sup>x</sup> = 27 | |||
Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att log 10<sup>x</sup> = log 27 | |||
Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera. | |||
==== Exempel ==== | |||
Lös ekvationen 10<sup>2x</sup> = 200 | |||
Logaritmering av båda sidorna ger | |||
log 10<sup>2x</sup> = log 200 | |||
2x = log 200 | |||
x = log (200) /2 | |||
=== Grafisk löning === | === Grafisk löning === | ||
Versionen från 14 februari 2018 kl. 20.00
|
|
.svg)
Teori
Skillnaden funktion - ekvation
Vilke är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?
| Definition |
|---|
| {{{1}}} |
Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som
- [math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet }[/math]
där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.
Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis
- [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]
Logaritmera ekvationer
Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
Varför är det så?
Om 102a+3b = 10y så innebär det att 2a+3b = y
Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y
Om log 10x = log 27 så innebär det att 10x = 27
Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10x = 27 så innebär det att log 10x = log 27
Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
Exempel
Lös ekvationen 102x = 200
Logaritmering av båda sidorna ger
log 102x = log 200
2x = log 200
x = log (200) /2
Grafisk löning
Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
- Sätt in x = 0 så får du C
- Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a
| Uppgift |
|---|
| Lös upppgiften ovan med GeoGebra
Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du. Dsa i glidarna och finn lösningen. |
Vatten i termos
Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
Aktivitet
| Uppgift |
|---|
| Lös verkliga problem
Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.
|