Exponentialekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 21 januari 2020 kl. 08.38

Mål för undervisningen Exponentialekvationer

Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering.

Exempel på exponentialekvationer

Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg

En ekvation där variabeln sitter i exponenten i, exempelvis [math]\displaystyle{ 5^x = 12 }[/math], kallas för exponentialekvation.

Du löser exponentialekvationer algebraiskt genom att använda logaritmer.

Verktyg för ekvationslösning

Genom att vi har lärt oss logaritmlagarna har vi nu fler verktyg vid ekvationslösning. Nedan kommer en sammanfattning

Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av "="
- Addition ( + )
- Subraktion ( - )
- Multiplikation ( × )
- Division ( ÷ )
- Logaritmera ( log || lg || ln )
När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av "="
Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
- Potenslagarna
- Logaritmlagarna
- Konjugat-och Kvadreringsreglerna

Skillnaden funktion - ekvation

Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponentialfunktion och en exponentialekvation?

Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.

Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).

Definition

[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math] är en exponentialfunktion

[math]\displaystyle{ C \cdot a^{x} = B }[/math] är en exponentialekvation

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot e^{kx} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = C \cdot a^{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx + a} }[/math]

Metod - Logaritmera ekvationer

Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.

Varför är det så?

Om [math]\displaystyle{ 10^{2a+3b} = 10^y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]

Om [math]\displaystyle{ log(2a+3b) = log y }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 2a+3b = y }[/math]

Om [math]\displaystyle{ log 10^x = log 27 }[/math] så innebär det att [math]\displaystyle{ 10^x = 27 }[/math]

Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10^x = 27 så innebär det att

[math]\displaystyle{ log 10^x = log 27 \quad }[/math] och då är ju enligt logaritmlagarna

[math]\displaystyle{ x\cdot log 10 = log 27 \quad }[/math] och

[math]\displaystyle{ x = log 27 }[/math]

Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.

[redigera]

Exempel

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

[math]\displaystyle{ slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet }[/math]

där [math]\displaystyle{ r^x }[/math] är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exempel

Lös ekvationen [math]\displaystyle{ 10^{2x} = 200 }[/math]

Logaritmering av båda sidorna ger:

[math]\displaystyle{ log 10^{2x} = log 200 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2x = log{200} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = log (200) /2 }[/math]

[redigera]

Logaritmer

2^x = 3

[redigera]

Uppgift

Öva tolkning och modellering

Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm.

Utgå från värdena i diagrammet och ställ upp exponentialfunktionen för gåspopulationen.

Skapa en lämplig frågeställning som ger en uppgift där ekvationslösning med logaritmer ingår

Uppgift

Lös verkliga problem

Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.

Tillämpningar på exponentiell förändring med några uppgifter och övningar

Befolkningstillväxt

Kol-14

[redigera]

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

Uppgift

Ett praktiskt experiment

Skaffa en termomenter avnågot slag och brygg en het kopp kaffe.

Mät temperaturen vid minst fem tidpunkter.

Gör en kurvanpassning enligt ovan.

Vilken exponentialfunktion får du?

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Exponentialekvationer

läromedel: Exponentialekvationer

Läs om En bit ner på sidan behandlas exponentialekvationer

Hitta funktionen grafiskt med GeoGebra

Uppgift

Bestäm funktionen algebraiskt eller med GeoGebra

Bestäm exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math] där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

Algebraiskt

Du behöver beräkan a och C.

Sätt in [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] så får du C
Sätt in [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math] och [math]\displaystyle{ y = 6 }[/math] i funktionen och räkna ut a

Grafiskt

Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ y = C a^x }[/math]

Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.

Dra i glidarna och finn lösningen.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-{|
+__NOTOC__
-|-
-| {{malruta | xxx
+= Teori =
-Här undersöker vi xxx.
+{{malruta | Exponentialekvationer
-}} |
-| {{sway | [https://sway.com/4kmzo24YvLMIosaW?ref{{=}}Link Exponentialekvationer]}}<br />
-{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/314bb117-05b1-4536-a41e-3ee15000f4d6 Exponentialekvationer] }}<br />
-{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/tiologaritmer En bit ner på sidan behandlas exponentialekvationer] }}<br />
-|}
-== Teori ==
+Målet är att vi ska lära oss att lösa exponentialekvationer genom logaritmering.
+}}
-{{#ev:youtube| xxx|400|right| 2.47 min.}}
+{{#ev:youtube| 8zL5jsyO2Zo|400|right|Exempel på exponentialekvationer}}
+{{#ev:youtube| 5CuaV3_iHdo|400|right|Logaritmer med olika baser, av Andreas Borg}}
-{{defruta|
+En ekvation där variabeln sitter i exponenten i, exempelvis <math> 5^x = 12 </math>, kallas för exponentialekvation.
-: <math></math> är en '''xxx'''}}<br />
-=== Grafisk löning ===
+Du löser exponentialekvationer algebraiskt genom att använda logaritmer.
-=== Exempel 1 ===
+=== Verktyg för ekvationslösning ===
-Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
+Genom att vi har lärt oss logaritmlagarna har vi nu fler verktyg vid ekvationslösning. Nedan kommer en sammanfattning
-# Sätt in x = 0 så får du C
+# Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av <nowiki>"="</nowiki>
-# Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a
+#* Addition ( + )
+#* Subraktion ( - )
+#* Multiplikation ( × )
+#* Division ( ÷ )
+#* Logaritmera ( log || lg || ln )
+# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki>
+# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
+#* Potenslagarna
+#* Logaritmlagarna
+#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna
-{{uppgruta | Lös upppgiften ovan med GeoGebra
+=== Skillnaden funktion - ekvation ===
+Vilken är egentiligen skillnaden mellan en exponential'''funktion''' och en exponential'''ekvation'''?
-Skriv in funktionen y {{=}} C a <top>x<\top>
+Exponentialfunktionen har ett y-värde som korresponderar till ett x-värde. Den är kontinuerlig och definitionsmängden respektive värdemängden utgörs av de reella talen.
-Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.
+Om exponentialfunktionen sätts lika med ett värde eller en annan funktion får vi en exponentialekvation. Grafiskt är lösningen skärningspunkten mellan de två graferna, den för exponentialfunktionen och den för den andra funktionen (y = konstant eller vilken funktion som nu representerar högerledet i ekvationen).
-Dsa i glidarna och finn lösningen.
+{{defruta|
+: <math>f(x) = C \cdot a^{x}</math> är en '''exponentialfunktion'''
+<br />
+: <math> C \cdot a^{x} = B</math> är en '''exponentialekvation'''
 }}
-=== Exempel 2 ===
+Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis
+* <math>f(x) = C \cdot e^{kx}</math>
+* <math>f(x) = C \cdot a^{x}</math>
+* <math>f(x) = e^{kx + a}</math>
+=== Metod - Logaritmera ekvationer  ===
+Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
-Lös ekvationen 2<sup>x</sup> = 1 + 3x grafiskt.
+Varför är det så?
-Lös även olikheten 2<sup>x</sup> < 1 + 3x
+Om <math>10^{2a+3b} = 10^y</math> så innebär det att <math>2a+3b = y</math>
+Om <math>log(2a+3b) = log y</math> så innebär det att <math>2a+3b = y</math>
-====  Vatten i termos ====
+Om <math>log 10^x = log 27</math> så innebär det att <math>10^x = 27</math>
-[[Fil:Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png|600px|right]]
-Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
+Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att
+: <math>log 10^x = log 27 \quad</math> och då är ju enligt logaritmlagarna
+: <math>x\cdot log 10 = log 27 \quad</math> och
+: <math>x = log 27</math>
-Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
+Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
-{{clear}}
+= Exempel =
-=== Logaritmera ekvationer  ===
-Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
+{{exruta|
+'''Exponentialfunktioner''' är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ''ränta på ränta'' beräknas som
-Varför är det så?
+:<math>slutbeloppet = r^x\cdot startbeloppet</math>
-Om 10<sup>2a+3b</sup> = 10<sup>y</sup> så innebär det att 2a+3b = y
+där <math>r^x</math> är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är ''r'' (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och ''x'' antalet år.
+}}
-Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y
+{{exruta|
+Lös ekvationen <math>10^{2x} = 200</math>
-Om log 10<sup>x</sup> = log 27 så innebär det att 10<sup>x</sup> = 27
+Logaritmering av båda sidorna ger:
-Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att log 10<sup>x</sup> = log 27
+: <math>log 10^{2x} = log 200 </math>
-Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
+: <math>2x  = log{200} </math>
+: <math>x = log (200) /2 </math>
+}}
-==== Exempel ====
+= Lösningar =
-Lös ekvationen 10<sup>2x</sup> = 200
+<pdf>Fil:Exponentialekvationer.pdf</pdf>
-Logaritmering av båda sidorna ger
+= Uppgifter =
-log 10<sup>2x</sup> = log 200
+*Logaritmer
+:: 2<sup>x</sup> = 3
-x  = log 200
-x = log (200) /2
+{{clear}}
-== Aktivitet ==
+= Aktiviteter =
+{{uppgruta|'''Öva tolkning och modellering'''
+[[Fil:Nationella provet ht12 - 3C.png|240px|höger]]
+Uppgiften från det Nationella provet ht12 i kursen Ma3c kan användaas för att öva sig i att läsa av diagram, mm.
+Utgå från värdena i diagrammet och ställ upp exponentialfunktionen för gåspopulationen.
+Skapa en lämplig frågeställning som ger en uppgift där ekvationslösning med logaritmer ingår
+}}
 {{uppgruta| '''Lös verkliga problem'''
+Länken till den här sidan leder till en mängd exempel på tillämpningar av exponentialfunktionen och uppgifter som löses genom att ställa upp exponentialekvationer.
 : [[Tillämpningar på exponentiell förändring]] med några uppgifter och övningar
+:: [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Till%C3%A4mpningar_p%C3%A5_exponentiell_f%C3%B6r%C3%A4ndring#Befolkningstillv.C3.A4xt Befolkningstillväxt]
+:: [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Till%C3%A4mpningar_p%C3%A5_exponentiell_f%C3%B6r%C3%A4ndring#Uppgift_kol_14-metoden Kol-14]
 }}
@@ Rad 88: / Rad 126: @@
 </html>
-== Lär mer ==
+=  Laboration - Kaffe i termos =
+[[Fil:Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png|600px|right]]
+Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
+Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
+{{uppgruta| Ett praktiskt experiment
+Skaffa en termomenter avnågot slag och brygg en het kopp kaffe.
+Mät temperaturen vid minst fem tidpunkter.
+Gör en kurvanpassning enligt ovan.
+Vilken exponentialfunktion får du?
+}}
+{{clear}}
+= Lär mer =
+{| align="right"
+|-
+| {{sway | [https://sway.com/4kmzo24YvLMIosaW?ref{{=}}Link Exponentialekvationer]}}<br />
+|-
+| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/314bb117-05b1-4536-a41e-3ee15000f4d6 Exponentialekvationer] }}<br />
+|-
+| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/tiologaritmer En bit ner på sidan behandlas exponentialekvationer] }}<br />
+|}
+{{clear}}
+=== Hitta funktionen grafiskt med GeoGebra ===
+{{uppgruta | '''Bestäm funktionen algebraiskt eller med GeoGebra'''
+Bestäm exponentialfunktionen <math>y = C a^x</math> där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
+'''Algebraiskt'''
+Du behöver beräkan a och C.
+# Sätt in <math>x = 0</math> så får du C
+# Sätt in <math>x = 5</math> och <math>y = 6</math> i funktionen och räkna ut a
+'''Grafiskt'''
+Skriv in funktionen <math>y = C a^x</math>
+Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du.
+Dra i glidarna och finn lösningen.
+}}
 == Exit ticket ==
+<headertabs />

Exponentialekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 21 januari 2020 kl. 08.38

Verktyg för ekvationslösning

Skillnaden funktion - ekvation

Metod - Logaritmera ekvationer

Hitta funktionen grafiskt med GeoGebra

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök