Diskussion:Addition och subtraktion av vektorer

Komposanten [math]\displaystyle{ \vec a_x }[/math] kan skrivas som en skalärmultipel av enhetsvektorn [math]\displaystyle{ \(\vec e_x\) }[/math], medan komposanten \(\vec a_y\) kan skrivas som en skalärmultipel av enhetsvektorn \(\vec e_y\), enligt följande:

$$ \\\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}= 2\cdot\overrightarrow{e_{x}}+3\cdot\overrightarrow{e_{y}}=(2,3)$$

De koordinater (2,3) som vi använder för att beskriva vektorn i koordinatform, är, som vi såg ovan, samma skalärer som vi multiplicerade respektive enhetsvektor med för att få vektorns komposanter.

Vill man addera två vektorer i koordinatform, kan man addera de två vektorernas respektive komposanter, och därigenom få resultanten så här:

$$\\ \begin{align} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &=(a_x,\, a_y)\,+\,(b_x,\, b_y)= \\ &=(a_x + b_x,\, a_y + b_y) \end{align}$$

---

Vi har de två vektorerna

$$\overrightarrow{a}=(2,3)$$

$$\overrightarrow{b}=(3,1)$$

och vi vill ta reda på vad resultanten till de båda vektorerna har för koordinater. Då räknar vi enligt formeln ovan så här:

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,3)+(3,1)=(2+3, 3+1)=(5,4)$$

---

Sammanfattning av räkneregler för vektorer

Nu kan vi sammanfatta de räkneregler för vektorer skrivna i koordinatform som vi kommit fram till enligt följande generella samband:

Addition av vektorer

\(\\ \begin{align} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &=(a_x,\, a_y)\,+\,(b_x,\, b_y)= \\ &=(a_x + b_x,\, a_y + b_y) \end{align}\)

Subtraktion av vektorer

\(\\ \begin{align} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} &=(a_x,\, a_y)\,-\,(b_x,\, b_y)= \\ &=(a_x - b_x,\, a_y - b_y) \end{align} \)

Multiplikation med skalär

\(s\cdot \overrightarrow{a}=s\cdot (a_x,\, a_y)=(s\cdot a_x,\, s\cdot a_y)\)

där s är en skalär.