Differentialekvationer Ma4

Primitiva funktioner

Öva

Öva på Khan: Antiderivator

Några vanliga primitiva funktioner

Några primitiva funktioner
[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] funktion	[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] primitiv funktion
[math]\displaystyle{ k }[/math]	[math]\displaystyle{ kx + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n ~~~ (n \ne -1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac{1}{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln{\|x\|} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ e^x }[/math]	[math]\displaystyle{ e^x + C }[/math]
[math]\displaystyle{ a^x ~~~ (a \gt 0, a \ne 1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a^x}{\ln a} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ - \cos (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{a^2+x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \arcsin\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln\left\|x+\sqrt{x^2+a}\right\| + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
k och C är reella konstanter.

Inom matematisk analys är en funktion F(x) en primitiv funktion till f(x) om funktionen f är dess derivata, det vill säga om F '(x)=f(x).

Andra benämningar av primitiv funktion är antiderivata eller obestämd integral. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.

Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion f. Om en primitiv funktion är F(x), så kan alla primitiva funktioner skrivas F(x) + C.

Exempel: Alla primitiva funktioner till

[math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]

kan skrivas

[math]\displaystyle{ F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C }[/math]

där dx betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.

Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen f.

Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.

I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.

Från Wikipedia skriver om Primitiv_funktion

Primitiva funktioner med villkor

Mattias Danielsson, CC

Uppgift

WolframAlpha och GGB

Pröva att hitta primitiva funktioner med Wolfram Alpha och GeoGebra.

Kommandot integral kan vara värda att pröva

Enkla differnetialekvationer

Differnetialekvationer - några allmänna lösningar. Mattias Danielsson, CC

Tillämpningar av differnetialekvationer. Mattias Danielsson, CC

Lösningar till ordinära differentialekvationer

Att lösa en differentialekvation innebär att finna den funktion som uppfyller ekvationen. Till exempel har den homogena ekvationen av första ordningen

[math]\displaystyle{ y'+ay=0 }[/math]

där a är en konstant, lösningen

[math]\displaystyle{ y = C e^{-ax} }[/math]

där C är en konstant, som bestäms av randvillkor eller begynnelsevärden.

En differentialekvation har oändligt många lösningar, men det finns satser som visar att det finns unika lösningar till vissa begynnelsevärdesproblem.

Det finns metoder för att bestämma lösningar till vissa typer av differentialekvationer. I de flesta fall saknas sådana metoder, men alla differentialekvationer kan lösas approximativt med numeriska metoder.

En explicit lösning till en differentialekvation är en funktion av den oberoende variabeln som löser differentialekvationen (av formen y(x) = ...). En implicit lösning är ett förhållande mellan den beroende och den oberoende variabeln som indirekt definierar en funktion som är en explicit lösning (till exempel sin(x + y) = xy + 2x).

Öva på Khan: Filmer om differentialekvationer

Uppgift
Prova att lösa diffekvaktioner med digitala verkty

Bakterietillväxt

En differentialekvation kan användas till att beskriva bakterietillväxt i en lösning. Eftersom varje bakterie delar sig med en viss hastighet, är bakterietillväxten proportionell mot antalet bakterier vid en given tidpunkt. Om [math]\displaystyle{ N }[/math] anger antalet bakterier vid tiden [math]\displaystyle{ t }[/math] gäller därför sambandet

[math]\displaystyle{ N'(t) = k \cdot N(t) }[/math]

Lösningen till denna differentialekvation är en funktion som har egenskapen att funktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. Exponentialfunktionen är den enda funktion som har denna egenskap och lösningen måste således vara en exponentialfunktion.

Uppenbarligen är denna modell av bakterietillväxten bara approximativ - bland annat genom att bakterietillväxten i en lösning så småningom måste avstanna i brist på näring.

Fritt fall

Ett föremål släpps från en viss höjd [math]\displaystyle{ h }[/math] och faller på grund av gravitationskraften [math]\displaystyle{ F }[/math]. Här görs förenklingen att gravitationen är den enda kraft som verkar på föremålet och att gravitationen är konstant. I verkligheten finns också andra krafter, till exempel luftmotstånd.

Enligt Isaac Newtons andra lag är ett föremåls massa [math]\displaystyle{ m }[/math] multiplicerat med dess acceleration [math]\displaystyle{ a }[/math] lika med den kraft[math]\displaystyle{ F }[/math] som verkar på föremålet:

[math]\displaystyle{ m \cdot a = F }[/math]

Accelerationen är derivatan av hastigheten [math]\displaystyle{ v }[/math] med avseende på tid [math]\displaystyle{ t }[/math], eller:

[math]\displaystyle{ a = {dv \over dt} }[/math]

Hastigheten är i sin tur derivatan av sträckan, eller i detta fall höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] med avseende på tid [math]\displaystyle{ t }[/math]:

[math]\displaystyle{ v = {dh \over dt} }[/math]

Alltså är accelerationen andraderivatan av höjden:

[math]\displaystyle{ a = {d^{2}h \over dt^2} }[/math]

Den kraft [math]\displaystyle{ F }[/math] som verkar på föremålet antogs vara endast gravitationen. Newtons andra lag kan då skrivas som:

[math]\displaystyle{ m \cdot {d^{2}h \over dt^2} = -mg }[/math]

(Minustecken eftersom man enligt konvention räknar krafter positiva från jorden.)

Differentialekvationen går lätt att lösa med avseende på [math]\displaystyle{ h }[/math]. Först divideras med [math]\displaystyle{ m }[/math], vilket ger

[math]\displaystyle{ {d^{2}h \over dt^2} = -g }[/math]

Integrering av båda leden ger

[math]\displaystyle{ {dh \over dt} = -gt + C_1 }[/math]

och ytterligare en integrering ger

[math]\displaystyle{ h = h(t) = -{gt^2 \over 2} + C_{1}t + C_2 }[/math]

Integrationskonstanterna [math]\displaystyle{ C_1 }[/math] och [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] kan bestämmas om föremålets begynnelsehöjd och begynnelsehastighet är kända.

Resultatet är en funktion, eller en formel, för föremålets höjdläge vid tiden [math]\displaystyle{ t }[/math].

Texten från Wikipedia skriver om Differentialekvation