Deriveringsregler för potensfunktioner

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
[redigera]

Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans h-definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans h-definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.

Lyckligtvis finns det "snabbregler" som kan härledas utifrån derivatans h-definitionen och sedan användas för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.

Vi ska nu härleda några av de enklaste och nyttigaste deriveringsreglerna. Det viktigaste är inte att kunna härleda dessa på egen hand, utan främst att kunna följa med i och förstå härledningen, och att sedan kunna använda de deriveringsregler som vi kommer fram till.

Källa Matteboken.se

Derivatan av första ordningens polynom

Härledning

Låt [math] a[/math] och [math] b[/math] vara konstanter. Vi ska nu härleda derivatan av [math] f(x) = a x + b [/math] med hjälp av derivatans definition.

[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a (x+h) + b - (a x + b)}{h} [/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a x+ a h + b - a x - b}{h} [/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a h }{h} [/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0}a [/math]
[math] f'(x) = a [/math]


Derivatan av andra ordningens polynom

Härledning

Låt [math] a[/math] vara en konstan. Vi beräknar nu derivatan för [math] f(x) = a x^2 [/math]

[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a (x+h)^2 - a x^2}{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a (x^2+ 2xh + h^2) - a x^2}{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a x^2+ 2a xh + a h^2 - a x^2}{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ 2a xh + a h^2 }{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} 2a x + a h [/math]
[math] f'(x) = 2a x [/math]


Potensfunktioner där exponmenten inte är ett heltal

Derivatan av potensfunktioner Ma 3c, av Lärare Anders
Definition

Om [math] f(x) = \sqrt{x} [/math] så är [math] f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} [/math]

Om [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] så är [math] f'(x) = - \frac{1}{x^2} [/math]


Exempel
Härled deriveringsreglerna ovan

Vi använder den generella regeln för derivering av potenser för att derivera [math] f(x) = \sqrt{x} [/math] vilket vi skriver om som [math] f(x) = x^{\frac{1}{2}} [/math] Derivatan blir då:

[math] f'(x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} [/math]
[math] f'(x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} [/math]

Om vi sedan ska derivera [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] så skriver vi om det på potensform som:

[math] f(x) = x^{-1} [/math]
[math] f'(x) = (-1)~x^{-2} = - \frac{1}{x^2} [/math]


Deriveringsregler för summor av funktioner

Sid 130-135 - Deriveringsregler för polynom. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.

Som vi sett går det att härleda deriveringsreglerna för polynom genom att använda derivatans definition.

Definition
Deriveringsregler polynom


Om [math]f(x) = x^n [/math] skrivs [math]f'(x) = n \cdot x^{n-1}[/math].
Om [math]f(x) = k \cdot g(x) [/math] så är [math]f'(x) = k \cdot g'(x) [/math]
Om [math]f(x) = C [/math] där C är en konstant så är [math]f'(x) = 0 [/math]
Om [math]f(x) = g(x) + h(x) [/math] så är [math]f'(x) = g'(x) + h'(x) [/math]


Derivatan av ett andra ordningens polynom

Exempel

Vi ska beräkna derivatan för [math] f(x) = 7 x^2 [/math]

[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{7 (x+h)^2 - 7 x^2}{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{7 (x^2+ 2xh + h^2) - 7 x^2}{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{7 x^2+ 2 \cdot 7~xh + 7 h^2 - 7 x^2}{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ 14 xh + 7 h^2 }{h}[/math]
[math] f'(x) = \lim_{h \to 0} 14 x + 7 h [/math]
[math] f'(x) = 14 x [/math]


Procedur

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift:

Derivera funktionerna:

  1. [math] f(x) = 3 x^2 [/math]

  2. [math] f(x) = \frac{2}{x} [/math]

  3. [math] f(x) = \frac{6}{x^2} [/math]

  4. [math] f(x) = 4 \sqrt{x} [/math]

Facit: (klicka expandera till höger)

  1. Om [math] f(x) = 3 x^2 [/math] är [math] f'(x) = 6 x [/math]

  2. Ifall [math] f(x) = \frac{2}{x} [/math] är [math] f'(x) = - \frac{2}{x^2} [/math]

  3. När [math] f(x) = \frac{6}{x^2} [/math] är [math] f'(x) = - \frac{12}{x^3} [/math]

  4. [math] f(x) = 4 \sqrt{x} [/math] är [math] f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} [/math]



Resonemang

  1. Använd derivatans definition för att härleda derivatan av [math] f(x) = x^2 [/math]

Repetera

  1. Papper med repetitionsuppgifter på derivatans definition.