Derivatan av 2^x: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
Ingen redigeringssammanfattning
 
(9 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
{{#ev:youtube| jpNyQSXqOaA | 340 | right |Sid 193-195 - Derivatan av funktionen f(x)=a^x}}
{{#ev:youtube| jpNyQSXqOaA | 340 | right |Sid 193-195 - Derivatan av funktionen f(x)=a^x}}
{{malruta|
{{malruta|
Denna lektion kommer du att lära dig hur xxxxxxxxxxx.
Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis <math>y = 2^x</math>.
}}
}}
Vi skriver om 2 till <math> e^{ln 2} </math> för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.
<math> y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} </math>
Nu är det en funktion på formen <math> e^{k x} </math> och vi kan derivera (med <math>k = ln 2</math>) som vanligt.
<math> y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} =  ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x =  ln 2 \cdot 2^x</math>


{{defruta | '''Derivatan av <math>y = a^x</math>'''  
{{defruta | '''Derivatan av <math>y = a^x</math>'''  
<br />
<br />


: a är ett positivt tal.
: Om <math>f(x) = a^x</math> så är  <math>f'(x) = ln \, a \cdot a^x</math> (a > 0)
: Om <math>f(x) = a^x</math> så är  <math>f'(x) = ln \, a \cdot a^x</math> (a > 0)
}}
}}


{{clear}}
{{clear}}
{{flipped | Lös uppgifterna 4133 - 4141. Läs på om [[Problemlösning integraler]].
 
== Härledning med derivatans definition ==
 
Vid derivering av funktionen <math>a^x </math> där <math>a </math> är en konstant: 
 
<math>a </math> kan skrivas som <math>e^{\ln a}  </math> (se naturliga logaritmen]]'') vilket innebär att <math>a^x</math> även kan substitueras med <math>e^{\ln a x}  </math>. 
 
<math>f(x)= e^{\ln a x}      </math> 
 
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h}      </math>
 
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h}      </math>
 
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h}      </math>
 
Om <math>\ln a  </math> nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan : 
 
<math>f(x)= e^{6x}      </math> 
 
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h}      </math>
 
<math>f'(x)=6\cdot e^{6x}        </math>
 
Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen <math>e^{kx}      </math>, där <math>k      </math> är en konstant lyder: 
 
<math>f(x)=e^{kx}      </math>
 
<math>f'(x)=k \cdot e^{kx}      </math>
 
Om <math>k      </math> substitueras med <math>\ln a      </math> blir derivatan av exponentialfunktionen <math>a^x      </math> följande, om  <math>a^x=e^{\ln a x}      </math>:
 
<math>f(x)=a^x      </math>
 
<math>f'(x)=\ln a \cdot a^x      </math>
 
== Till nästa gång ==
{{flipped | Lös uppgifterna 4133 - 4141. Läs på om [[Problemlösning exponentialfunktioner]].
}}
}}

Nuvarande version från 15 april 2016 kl. 09.56

Ma3C: Integraler , sidan 193-195
Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis [math]\displaystyle{ y = 2^x }[/math].


Vi skriver om 2 till [math]\displaystyle{ e^{ln 2} }[/math] för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.

[math]\displaystyle{ y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} }[/math]

Nu är det en funktion på formen [math]\displaystyle{ e^{k x} }[/math] och vi kan derivera (med [math]\displaystyle{ k = ln 2 }[/math]) som vanligt.

[math]\displaystyle{ y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x }[/math]

Definition
Derivatan av [math]\displaystyle{ y = a^x }[/math]


a är ett positivt tal.
Om [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = ln \, a \cdot a^x }[/math] (a > 0)


Härledning med derivatans definition

Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:

[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]

Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]

Till nästa gång

Flippa = Gör detta till nästa lektion!

Lös uppgifterna 4133 - 4141. Läs på om Problemlösning exponentialfunktioner.