Derivatan av 2^x: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
| (13 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{{lm3c| Integraler | | {{lm3c| Integraler | 193-195 }} | ||
{{#ev:youtube| | {{#ev:youtube| jpNyQSXqOaA | 340 | right |Sid 193-195 - Derivatan av funktionen f(x)=a^x}} | ||
{{malruta| | {{malruta| | ||
Denna lektion kommer du att lära dig hur | Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis <math>y = 2^x</math>. | ||
}} | }} | ||
{{defruta | | Vi skriver om 2 till <math> e^{ln 2} </math> för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare. | ||
: | |||
<math> y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} </math> | |||
Nu är det en funktion på formen <math> e^{k x} </math> och vi kan derivera (med <math>k = ln 2</math>) som vanligt. | |||
<math> y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x</math> | |||
{{defruta | '''Derivatan av <math>y = a^x</math>''' | |||
<br /> | |||
: a är ett positivt tal. | |||
: Om <math>f(x) = a^x</math> så är <math>f'(x) = ln \, a \cdot a^x</math> (a > 0) | |||
}} | }} | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
{{flipped | Lös uppgifterna | |||
== Härledning med derivatans definition == | |||
Vid derivering av funktionen <math>a^x </math> där <math>a </math> är en konstant: | |||
<math>a </math> kan skrivas som <math>e^{\ln a} </math> (se naturliga logaritmen]]'') vilket innebär att <math>a^x</math> även kan substitueras med <math>e^{\ln a x} </math>. | |||
<math>f(x)= e^{\ln a x} </math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} </math> | |||
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} </math> | |||
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} </math> | |||
Om <math>\ln a </math> nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan : | |||
<math>f(x)= e^{6x} </math> | |||
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} </math> | |||
<math>f'(x)=6\cdot e^{6x} </math> | |||
Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen <math>e^{kx} </math>, där <math>k </math> är en konstant lyder: | |||
<math>f(x)=e^{kx} </math> | |||
<math>f'(x)=k \cdot e^{kx} </math> | |||
Om <math>k </math> substitueras med <math>\ln a </math> blir derivatan av exponentialfunktionen <math>a^x </math> följande, om <math>a^x=e^{\ln a x} </math>: | |||
<math>f(x)=a^x </math> | |||
<math>f'(x)=\ln a \cdot a^x </math> | |||
== Till nästa gång == | |||
{{flipped | Lös uppgifterna 4133 - 4141. Läs på om [[Problemlösning exponentialfunktioner]]. | |||
}} | }} | ||
Nuvarande version från 15 april 2016 kl. 09.56
Vi skriver om 2 till [math]\displaystyle{ e^{ln 2} }[/math] för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.
[math]\displaystyle{ y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} }[/math]
Nu är det en funktion på formen [math]\displaystyle{ e^{k x} }[/math] och vi kan derivera (med [math]\displaystyle{ k = ln 2 }[/math]) som vanligt.
[math]\displaystyle{ y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x }[/math]
| Definition |
|---|
| Derivatan av [math]\displaystyle{ y = a^x }[/math]
|
Härledning med derivatans definition
Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:
[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].
[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]
Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :
[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]
Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]
Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:
[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]