Delbarhet: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
Ingen redigeringssammanfattning
Rad 49: Rad 49:
<!-- Note: the "id" attributes are there to allow direct linking to this table as e.g. [[Divisibility rule#7]]. -->
<!-- Note: the "id" attributes are there to allow direct linking to this table as e.g. [[Divisibility rule#7]]. -->
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
! Divisor
! Delare
! Divisibility condition
! Krav
! Examples
! Exempel
|-
|-
|id=1| '''[[1 (number)|1]]'''
|id=1| '''1'''
| No special condition. Any integer is divisible by 1.
| Inga speciella krav. Alla heltal är delbara med 1.
| 2 is divisible by 1.
| 2 är delbart med 1.
|-
|-
|id=2| '''[[2 (number)|2]]'''
|id=2| '''2'''
| The last digit is even (0, 2, 4, 6, or 8).<ref name="Pascal's-criterion">This follows from Pascal's criterion. See Kisačanin (1998), [{{Google books|plainurl=y|id=BFtOuh5xGOwC|page=101|text=A number is divisible by}} p. 100–101]</ref><ref name="last-m-digits">A number is divisible by 2<sup>''m''</sup>, 5<sup>''m''</sup> or 10<sup>''m''</sup> if and only if the number formed by the last ''m'' digits is divisible by that number. See Richmond & Richmond (2009), [{{Google books|plainurl=y|id=HucyKYx0_WwC|page=105|text=formed by the last}} p. 105]</ref>
| Den sista siffran är jämn (0, 2, 4, 6, eller 8).
| 1294: 4 is even.
| 1294: 4 är jämn.
|-
|-
|id=3 rowspan=2| '''[[3 (number)|3]]'''
|id=3| '''3'''
| Sum the digits. The result must be divisible by 3.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="apostol-1976">Apostol (1976), [{{Google books|plainurl=y|id=Il64dZELHEIC|page=108|text=sum of its digits}} p. 108]</ref><ref name="Richmond-Richmond-2009">Richmond & Richmond (2009), [{{Google books|plainurl=y|id=HucyKYx0_WwC|page=102|text=divisible by}} Section 3.4 (Divisibility Tests), p. 102–108]</ref>
| Summera talets siffror. Resultatet måste vara delbart med 3.
| 405 → 4 + 0 + 5 = 9 and 636 → 6 + 3 + 6 = 15 which both are clearly divisible by 3.<br>16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 sums to 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, which is clearly divisible by 3.
| 405 → 4 + 0 + 5 = 9 och 636 → 6 + 3 + 6 = 15 vilka båda är delbara med 3.<br>16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 kan summeras till 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, som är delbart med 3.
|-
|-
| Subtract the quantity of the digits 2, 5, and 8 in the number from the quantity of the digits 1, 4, and 7 in the number.  The result must be divisible by 3.
|id=5| '''5'''
| Using the example above: 16,499,205,854,376 has four of the digits 1, 4 and 7 and four of the digits 2, 5 and 8; ∴ Since 4 − 4 = 0 is a multiple of 3, the number 16,499,205,854,376 is divisible by 3.
| Den sista siffran är 0 eller 5.
| 495: den sista siffran är 5.
|-
|-
|id=4 rowspan=3| '''[[4 (number)|4]]'''
|id=6| '''6'''
| The last two digits form a number that is divisible by 4.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| Det är delbart med 2 och med 3.
| 40,832: 32 is divisible by 4.
| 1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, så det är delbart med 3 och den sista siffran i 1458 är jämn, alltså är talet delbart med 6.
|-
|-
| If the tens digit is even, the ones digit must be 0, 4, or 8.<br>If the tens digit is odd, the ones digit must be 2 or 6.
|id=9| '''9'''
| 40,832: 3 is odd, and the last digit is 2.
| Summera siffrorna i talet.  Resultatet måste vara delbart med 9.
|-
| Twice the tens digit, plus the ones digit is divisible by 4.
| 40832: 2 × 3 + 2 = 8, which is divisible by 4.
|-
|id=5| '''[[5 (number)|5]]'''
| The last digit is 0 or 5.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| 495: the last digit is 5.
|-
|id=6| '''[[6 (number)|6]]'''
| It is divisible by 2 and by 3.<ref name="product-of-coprimes">Richmond & Richmond (2009), [{{Google books|plainurl=y|id=HucyKYx0_WwC|page=102|text=divisible by the product}} Section 3.4 (Divisibility Tests), Theorem 3.4.3, p. 107]</ref>
| 1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, so it is divisible by 3 and the last digit is even, hence the number is divisible by 6.
|-
|id=7 rowspan=6| '''[[7 (number)|7]]'''
| Forming an [[alternating sum]] of blocks of three from right to left gives a multiple of 7<ref name="Richmond-Richmond-2009"/><ref name="alternating-sum-of-blocks-of-three">Kisačanin (1998), [{{Google books|plainurl=y|id=BFtOuh5xGOwC|page=101|text=third criterion for 11}} p. 101]</ref>
| 1,369,851:  851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
|-
| Subtracting 2 times the last digit from the rest gives a multiple of 7. (Works because 21 is divisible by 7.)
| 483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
|-
| Adding 5 times the last digit to the rest gives a multiple of 7. (Works because 49 is divisible by 7.)
| 483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
|-
| Adding 3 times the first digit to the next gives a multiple of 7 (This works because 10''a'' + ''b'' − 7''a'' = 3''a'' + ''b'' − last number has the same remainder)
| 483: 4×3 + 8 = '20' remainder 6,
203: 2×3 + 0 = '6'
 
63: 6×3 + 3 = 21.
|-
| Adding the last two digits to twice the rest gives a multiple of 7. (Works because 98 is divisible by 7.)
| 483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
|-
| Multiply each digit (from right to left) by the digit in the corresponding position in this pattern (from left to right): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (repeating for digits beyond the hundred-thousands place). Then sum the results.
| 483,595: (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
|-
|id=8 rowspan=5| '''[[8 (number)|8]]'''
|style="border-bottom: hidden;"| If the hundreds digit is even, the number formed by the last two digits must be divisible by 8.
|style="border-bottom: hidden;"| 624:  24.
|-
| If the hundreds digit is odd, the number obtained by the last two digits plus 4 must be divisible by 8.
| 352: 52 + 4 = 56.
|-
| Add the last digit to twice the rest. The result must be divisible by 8.
| 56: (5 × 2) + 6 = 16.
|-
| The last three digits are divisible by 8.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| 34,152: Examine divisibility of just 152: 19 × 8
|-
| Add four times the hundreds digit to twice the tens digit to the ones digit. The result must be divisible by 8.
| 34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
|-
|id=9| '''[[9 (number)|9]]'''
| Sum the digits.  The result must be divisible by 9.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="apostol-1976"/><ref name="Richmond-Richmond-2009"/>
| 2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
| 2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
|-
|-
|id=10| '''[[10 (number)|10]]'''
|id=10| '''10'''
| The last digit is 0.<ref name="last-m-digits"/>
| Sista siffran i talet är 0.
| 130: the last digit is 0.
| 130: den sista siffran är 0.
|-
|id=11 rowspan=6| '''[[11 (number)|11]]'''
| Form the alternating sum of the digits. The result must be divisible by 11.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="Richmond-Richmond-2009"/>
| 918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
|-
| Add the digits in blocks of two from right to left. The result must be divisible by 11.<ref name="Pascal's-criterion"/>
| 627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
|-
| Subtract the last digit from the rest. The result must be divisible by 11.
| 627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
|-
| Add the last digit to the hundredth place (add 10 times the last digit to the rest). The result must be divisible by 11.
| 627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
|-
| If the number of digits is even, add the first and subtract the last digit from the rest. The result must be divisible by 11.
| 918,082: the number of digits is even (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11
|-
| If the number of digits is odd, subtract the first and last digit from the rest. The result must be divisible by 11.
| 14,179: the number of digits is odd (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11
|-
|id=12 rowspan=2| '''[[12 (number)|12]]'''
| It is divisible by 3 and by 4.<ref name="product-of-coprimes"/>
| 324: it is divisible by 3 and by 4.
|-
| Subtract the last digit from twice the rest. The result must be divisible by 12.
| 324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
|-
|id=13 rowspan=4| '''[[13 (number)|13]]'''
| Form the [[alternating sum]] of blocks of three from right to left.<ref name="alternating-sum-of-blocks-of-three"/>
| 2,911,272: 2 - 911 + 272 = -637
|-
| Add 4 times the last digit to the rest. The result must be divisible by 13.
| 637:  63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
|-
| Subtract the last two digits from four times the rest. The result must be divisible by 13.
| 923: 9 × 4 - 23 = 13.
|-
| Subtract 9 times the last digit from the rest. The result must be divisible by 13.
| 637:  63 - 7 × 9 = 0.
|-
|id=14 rowspan=2| '''[[14 (number)|14]]'''
| It is divisible by 2 and by 7.<ref name="product-of-coprimes"/>
| 224: it is divisible by 2 and by 7.
|-
| Add the last two digits to twice the rest. The result must be divisible by 14.
| 364: 3 × 2 + 64 = 70.<br />1764: 17 × 2 + 64 = 98.
|-
|id=15| '''[[15 (number)|15]]'''
| It is divisible by 3 and by 5.<ref name="product-of-coprimes"/>
| 390: it is divisible by 3 and by 5.
|-
|id=16 rowspan=4| '''[[16 (number)|16]]'''
|style="border-bottom: hidden;"| If the thousands digit is even, examine the number formed by the last three digits.
|style="border-bottom: hidden;"| 254,176: 176.
|-
| If the thousands digit is odd, examine the number formed by the last three digits plus 8.
| 3408: 408 + 8 = 416.
|-
| Add the last two digits to four times the rest. The result must be divisible by 16.
| 176: 1 × 4 + 76 = 80.
 
1168: 11 × 4 + 68 = 112.
|-
| Examine the last four digits.<ref name="Pascal's-criterion"/><ref name="last-m-digits"/>
| 157,648: 7,648 = 478 × 16.
|-
|id=17 rowspan=2| '''[[17 (number)|17]]'''
| Subtract 5 times the last digit from the rest.
| 221:  22 − 1 × 5 = 17.
|-
| Subtract the last two digits from two times the rest.
| 4,675: 46 × 2 - 75 = 17.
|-
|id=18| '''[[18 (number)|18]]'''
| It is divisible by 2 and by 9.<ref name="product-of-coprimes"/>
| 342: it is divisible by 2 and by 9.
|-
|id=19 rowspan=2| '''[[19 (number)|19]]'''
| Add twice the last digit to the rest.
| 437: 43 + 7 × 2 = 57.
|-
| Add 4 times the last two digits to the rest.
| 6935: 69 + 35 × 4 = 209.
|-
|id=20 rowspan=2| '''[[20 (number)|20]]'''
| It is divisible by 10, and the tens digit is even.
| 360: is divisible by 10, and 6 is even.
|-
|The number formed by the last two digits is divisible by 20.<ref name="last-m-digits"/>
| 480: 80 is divisible by 20.
|-
|id=21 rowspan=2|'''[[21 (number)|21]]'''
|Subtract twice the last digit from the rest.
|168: 16 − 8 × 2 = 0.
|-
|It is divisible by 3 and by 7.<ref name="product-of-coprimes"/>
|231: it is divisible by 3 and by 7.
|-
|id=22| '''[[22 (number)|22]]'''
|It is divisible by 2 and by 11.<ref name="product-of-coprimes"/>
|352: it is divisible by 2 and by 11.
|-
|id=23 rowspan=2| '''[[23 (number)|23]]'''
|Add 7 times the last digit to the rest.
|3128: 312 + 8 × 7 = 368.  36 + 8 × 7 = 92.
|-
|Add 3 times the last two digits to the rest.
|1725: 17 + 25 × 3 = 92.
|-
|id=24| '''[[24 (number)|24]]'''
|It is divisible by 3 and by 8.<ref name="product-of-coprimes"/>
|552: it is divisible by 3 and by 8.
|-
|id=25| '''[[25 (number)|25]]'''
|The number formed by the last two digits is divisible by 25.<ref name="last-m-digits"/>
|134,250: 50 is divisible by 25.
|-
|id=26| '''[[26 (number)|26]]'''
|It is divisible by 2 and by 13.<ref name="product-of-coprimes"/>
|156: it is divisible by 2 and by 13.
|-
| rowspan="3" id="27" |'''[[27 (number)|27]]'''
|Sum the digits in blocks of three from right to left. The result must be divisible by 27.
|2,644,272:  2 + 644 + 272 = 918.
|-
|Subtract 8 times the last digit from the rest. The result must be divisible by 27.
|621: 62 − 1 × 8 = 54.
|-
|Subtract the last two digits from 8 times the rest. The result must be divisible by 27.
|6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
|-
|-
|id=28| '''[[28 (number)|28]]'''
|id=15| '''15'''
|It is divisible by 4 and by 7.<ref name="product-of-coprimes"/>
| Talet är delbart med 3 och med 5.
|140: it is divisible by 4 and by 7.
| 390: det är delbart med 3 och med 5.
|-
|-
| rowspan="2" id="29" | '''[[29 (number)|29]]'''
|id=18| '''18'''
|Add three times the last digit to the rest. The result must be divisible by 29.
| Det är delbart med 2 och med 9.
|348: 34 + 8 × 3 = 58.
| 342: talet är delbart med 2 och med 9.
|-
|-
|Add 9 times the last two digits to the rest.
|id=20| '''20'''
|5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
| Det är delbart med 10 och tiotalet är jämnt.
| 360: det är delbart med 10 och 6 är jämn.
|-
|-
|id=30| '''[[30 (number)|30]]'''
|id=30| '''30'''
|It is divisible by 3 and by 10.<ref name="product-of-coprimes"/>
| Det är delbart med 3 och med 10.
|270: it is divisible by 3 and by 10.
| 270: talet är delbart med 3 och med 10.
|}
|}

Versionen från 24 augusti 2017 kl. 18.07

Mål för undervisningen Delbarhet

Du kommer att lära dig vad delbarhet innebär och hur vi kan jobba med delbarhet för att t.ex. omvandla recept.

Swayen till detta avsnitt: Delbarhet


läromedel: Delbarhet


Läs om Delbarhet


Aktivitet

Receptomvandling i grupper om 4-5 personer. Om klassen ska tillverka 40 stycken chokladbollar, hur mycket ingredienser behövs för varje grupp och boll. Varje grupp måste redovisa tydliga beräkningar för att hämta ut ingredienser.

Teori

Delbarhet är en matematisk operation

Definition delbarhet:

Ett heltal a är delbart med ett heltal b (b ≠ 0) om a / b = c sådant att kvoten c är ett heltal.

Delbarhet med 2, 3 och 5

När det kommer till delbarheten med våra minsta primtal så ser vi att de sammansatta talen har några gemensamma egenskaper.

Delbarhet med 2:
Alla jämna tal är delbara med 2.
Exempel: 4, 16, 20, 38, 56, 1576



Delbarhet med 3:
Alla tal vars siffersumma är delbar med 3 är delbara med 3.
Exempel: 36, 528, 945, 7521



Delbarhet med 5:
Alla tal där den sista siffran är en 0:a eller en 5:a är delbara med 5.
Exempel: 35, 340, 785, 6345




Delare Krav Exempel
1 Inga speciella krav. Alla heltal är delbara med 1. 2 är delbart med 1.
2 Den sista siffran är jämn (0, 2, 4, 6, eller 8). 1294: 4 är jämn.
3 Summera talets siffror. Resultatet måste vara delbart med 3. 405 → 4 + 0 + 5 = 9 och 636 → 6 + 3 + 6 = 15 vilka båda är delbara med 3.
16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 kan summeras till 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, som är delbart med 3.
5 Den sista siffran är 0 eller 5. 495: den sista siffran är 5.
6 Det är delbart med 2 och med 3. 1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, så det är delbart med 3 och den sista siffran i 1458 är jämn, alltså är talet delbart med 6.
9 Summera siffrorna i talet. Resultatet måste vara delbart med 9. 2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10 Sista siffran i talet är 0. 130: den sista siffran är 0.
15 Talet är delbart med 3 och med 5. 390: det är delbart med 3 och med 5.
18 Det är delbart med 2 och med 9. 342: talet är delbart med 2 och med 9.
20 Det är delbart med 10 och tiotalet är jämnt. 360: det är delbart med 10 och 6 är jämn.
30 Det är delbart med 3 och med 10. 270: talet är delbart med 3 och med 10.
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Delbarhet&oldid=40576”