Begreppet gränsvärde

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök

Teori

betrakta funktionen

[math] f(x) = \frac{1}{x^2} [/math]

Vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?

Härhjälper det att ställa upp en värdetabell:

x f(x)
10 0,01
100 0,0001
1000 0,000001

Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.

I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:

[math] \lim_{x \to ∞} f(x) = 0 [/math]

Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".

Definition
Gränsväde i en punkt
[math] \lim_{x \to a} f(x) = b[/math] utläses gränsvärdet för [math] f(x)[/math] är lika med [math] b[/math][math] x[/math] går mot [math] a[/math]


Beräkning av gränsvärden

Exempel
Beräkna gränsvärdet algebraiskt

Vad är gränsvärdet för [math] \frac{x^2 - 4}{x - 2} [/math] om [math] x [/math] går mot 2 ?


[math] \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 [/math]


Numerisk beräkning av gränsvärden

Många gånger kan det löna sig att använda ett kalkylprogram om man vill se hur ett uttryck närmar sig gränsvärdet. Här syns ett exempel i Numbers:

Skärmavbild 2016-02-06 kl. 02.01.18.png

Aktiviteter

Uppgifter

Beräkna

[math] \lim_{h \to 0} 2h + 3[/math]
[math] \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h}[/math]
[math] \lim_{x \to 3} \frac{x^2 -9}{x-3}[/math]
[math] \lim_{h \to \infty} 4 + \frac{5}{h}[/math]
[math] \lim_{h \to 0} \frac{h^3-3h^2x+4hx}{h}[/math]
[math] \lim_{x \to 0} \frac{9}{2+10^x}[/math]
[math] \lim_{x \to \infty} 99+0.99^x[/math]
[math] \lim_{x \to \infty} \frac{x-4x^2}{3x^2+x}[/math]

Lär mer

Matteboken.png
Läs om Gränsvärde


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Gränsvärde


Beräkning av gränsvärden. 7:17 min. Åke Dahllöfk, YT-licens

Fördjupning

Siri kan beräkna gränsvärden

Rita grafen för funktionen [math] f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x [/math] och uppskatta gränsvärdet för [math] \lim_{x \to \infty} f(x) [/math]