Begreppet absolutbelopp

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
[redigera]
Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal
Absolutbeloppet motsvaras av ett tals avstånd till noll, (eller origo), oavsett dess riktning. Den röda vektorn pekar på ett tal vars absolutbelopp är lika stort som samtliga tal på den gröna cirkeln.
Begreppet absolutbelopp, av Åke Dahllöf


Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Absolutbeloppet skrivs med två vertikala streck. Absolutbeloppet av x skrivs [math] |x| [/math].

Absolutbeloppet är alltid positivt, dvs [math] |x| \gt= 0 [/math]

Definition
Abolutbelopp

Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av

[math]|x|=\left\{\begin{matrix} x, & x \ge 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{matrix}\right.[/math]


Exempel
Absolutbeloppet
[math] | -3 | = 3 [/math]
[math] |x - 3 | = x - 3 [/math] om [math] x \geq 3 [/math]
[math] |x - 3 | = -(x-3) = 3-x [/math] om [math] x \lt 3 [/math] och

Tänk dig en tallinje. : [math] |x - 3 | [/math] är avståndet mellan : [math] x [/math] och [math] 3 [/math] .

Regel för kvadratrötter

[math] \sqrt{x^2} = |x| [/math]


Exempel med variabel på två ställen

Exempel

Lös ekvationen:

[math] |x + 1 | = 7-2x [/math]

Fall 1: x < -1

[math] -(x + 1 ) = 7-2x [/math]
[math] -x - 1 = 7-2x [/math]
[math] x = 8 [/math] Stämmer ej (utanför intervallet).

Fall 2: x > -1

[math] (x + 1 ) = 7-2x [/math]
[math] 3x = 6 [/math]
[math] x = 2 [/math] Stämmer


Exempel - Absolutbelopp i båda leden

Exempel
En knepigare uppgift

Om ekvationen innehåller två absolutbelopp behöver vi titta på flera fall. Lös ekvationen nedan:

[math] |x - 1 | - 3 = |x + 3 | [/math]

För att lösa ekvationen tittar vi på tre fall och kan därigenom ta bort absolutbeloppen.

Fall 1: x < -3

Uttrycken inom beloppstecknen blir i båda fallen negativa och vi ersätter beloppstecknen med parentes med minustecken framför, vilket ger

[math] -(x - 1 ) - 3 = -(x + 3 ) [/math]
[math] -x + 1 - 3 = -x - 3 [/math]

Här ser vi att det saknas lösning (efftersom -x kan förkortas bort).

Fall 2: -3 < x < 1

I detta intervallet blir uttrycket inom beloppstecknen i vänster led negativt medan det är positivt i höger led.

[math] -(x - 1 ) - 3 = (x + 3 ) [/math]
[math] -x + 1 - 3 = x + 3 [/math]
[math] 2 x = -5 [/math]
[math] x = -2.5 [/math]

Fall 3: x > 1

För säkerhets skull undersöker vi vad som händer i tredje fallet. Här blir innehållet i båda beloppen positivt och:

[math] x - 1 - 3 = x + 3 [/math]

vilket saknar lösning.


Nedan en grafisk tolkning:

Absolutbelopp på tallinje

Två

I denna GGB kan du studera en funktion av absolutbeloppet.

Alla börjar med dessa uppgifter innan ni jobbar vidare med andra uppgifter. Skriv på ett papper och lägg det framför er när ni är klara så att din lärare ser hur det gått. Om det är oklarheter så tar vi upp det gemensamt.

Uppgift
Exit ticket

1. Vad är [math] | -2.34 | [/math] ?

2. Vilka värden kan [math] | 2 - x | [/math] anta?

3. Lös ekvationen [math] | x-4 | = 5 [/math]


Uppgift
Utmaning

Lös ekvationen:

[math] \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} [/math]



20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Absolute value


En GeogebraBook

Tim B har samlat förklaringar och övningar som du kan göra.

Superformeln


[math] r(v) = \Big{(}\Big{|} \frac{cos{\frac{mv}{4}}}{a}\Big{|}^{n_2} + \Big{|}\frac{sin{\frac{mv}{4}}}{b}\Big{|}^{n_3}\Big{)}^{- \frac{1}{n_1}} [/math]

där parametrarna [math]a, b, m, n_1, n_2[/math] och [math]n_3 [/math] exempelvis kan vara 1,1,5,2,6 och 6.

Den här övningenkan man även göra i Python.

Uppgift
Undersök superformeln

Den finns på webbplatsen Spelprogrammering.nu med kod i Javascript.

Du använder Javascript, Wolfram Alpha och Geogebra i din undersökning.

Redovisa några snygga grafer i ppt. Ange dina parametrar och försök förklara varför kurvan ser ut som den gör.

Ta också med en definition samt en förklaring av absolutbeloppet. Undersök hur superformeln uppför sig utan absolutbelopp.

Kan du fundera ut en operation i miniräknaren eller datorn som ger samma resultat som absolutbeloppet utan att man använder just absolutbeloppet?