Andragradsekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 86: Rad 86:


Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
{{exruta|pq-formeln
: <math>x^2+4x-5=0</math>
: <math>x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5}</math>
}}


=== Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering ===
=== Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering ===

Versionen från 9 februari 2018 kl. 10.33

Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.


Teori

Enkla andragradsekvationer

Av Daniel Barker.

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

Exempel
Kvadratterm och binom

Kvadratterm:

[math]\displaystyle{ 2x^2=50 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2=25 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\pm 5 }[/math]

Binom

[math]\displaystyle{ (x-7)^2=64 }[/math]
[math]\displaystyle{ (x-7)=\pm 8 }[/math]
[math]\displaystyle{ (x-7)= +8 }[/math] eller [math]\displaystyle{ (x-7)= -8 }[/math]
[math]\displaystyle{ x= 15 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x= -1 }[/math]


Dubbelrot

Exempel
[math]\displaystyle{ (x-7)^2=0 }[/math] ger dubbelroten
[math]\displaystyle{ x=7 }[/math]


Nollproduktsmetoden

Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.

Exempel
Nollproduktsmetoden
[math]\displaystyle{ x^2-4x=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x(x-4)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x-4=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x=4 }[/math]


Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.

Ekvationen saknar reella rötter

Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).

Exempel
Ickereella rötter
[math]\displaystyle{ x^2=-4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\pm \sqrt{-4} }[/math]

Det komplexa talet [math]\displaystyle{ \sqrt{-4} }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ 2 i }[/math]


Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Exempel
pq-formeln
[math]\displaystyle{ x^2+4x-5=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} }[/math]


Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering

Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.

Wikipedia skriver om Kvadratkomplettering
Wikipedia skriver om Andragradsekvation


Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Ex

X^2+7x+12=0

(X+3)(x+4)=0

Aktivitet

Hur det började

Den här behöver man fundera på en stund.

How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation
eller Quadratic equations in early Baghdad

GGB-bok

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar

https://ggbm.at/drMyunCX

Kan du kvadratkomplettera?

Uppgift
Lös följande andragradsekvation genom kvadratkomplettering
[math]\displaystyle{ x^2-6x =16 }[/math]


Lös andragradsekvationer på Khan academy:


Öva på Khan: Solving Quadratics by facoring

Lös dessa Khan, relativt enkla andragradsekvationer. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.


Dataövning

Lär mer

Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer




  • Repetition inför prov Algebra Ma2C
  • Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
  • Diagnos 2 med pq-formeln
Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2


rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln. Björn Knutson-Ek skrev så här:

Använd rs-formeln istället. Bara krångligt med minustecken.....

Kör rs-formeln istället pq-formeln

[math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]

ger

[math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]

Inga fjolliga minustecken här inte.

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation

Se två filmer med Michael Bondestam


Exit ticket