Andragradsekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
 
(82 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
=Teori=
{{malruta | '''Andragradsekvationer'''
{{malruta | '''Andragradsekvationer'''


Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln. }}
Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln. }}


== Teori ==
===Fullständiga andragradsekvationer===
 
====pq-formeln - Förklaring====
 
{{#ev:youtube|goYnB61nrjg|400|right|Mario om nyttan med andragradsekvationer.}}
 
En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:


=== Enkla andragradsekvationer ===
:<math> x^2 + px + q = 0 </math>


{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}}
där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.  
Av Daniel Barker.


Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
Den allmänna ekvationen har lösningen:


Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur
:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>


eller
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.


så har man ett kvadraten ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
Tänk att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen


Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens '''diskriminant'''.


{{exruta| '''Kvadratterm och binom'''
== Rötterna ==


Kvadratterm:
Vi utgår från andragradsekvationen på standardform:
: <math>2x^2=50</math>
: <math>x^2=25</math>
: <math>x=\pm 5</math>


Binom
: <math> ax^2+bx+c = 0</math>  
: <math>(x-7)^2=64</math>
: <math>(x-7)=\pm 8</math>
: <math>(x-7)= +8</math> eller <math>(x-7)= -8</math>
: <math>x= 15</math> eller <math>x= -1</math>  
}}


=== Dubbelrot ===
Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).


{{exruta|
[[File:SolutionsToQuadraticEquation-1.png|thumb|
: <math>(x-7)^2=0</math> ger dubbelroten
'''A:''' Två skärningspunkter, två reella rötter<br>'''B:''' En skärningspunkt, en reell dubbelrot<br>'''C:''' Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa]]
: <math>x=7</math>
Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln
}}
:<math>y=x^2</math>
och den räta linje|räta linjen
:<math>y = k\,x + m</math>  
vars riktningskoefficient ''k'' är ''-b/a'' och som skär ''y''-axeln i punkten (''0, m''), där ''m = -c/a''. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett [[Ekvationssystem_Ma2c|ekvationssystem]]:
:<math>
\begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases}
</math>
Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.


=== Nollproduktsmetoden ===
En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:
* <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math>
:har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
* <math>x^2+2x-1=0</math>
:har två reella lösningar
* <math>x^2 + 2x + 2 = 0</math>
:har två lösningar som är komplexa tal
Ekvationens ''diskriminant'' avgör vilket av de tre fallen som gäller.


Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.
''Delar av texten i detta avsnitt kommer från [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Wikipedia]''


{{exruta| '''Nollproduktsmetoden'''
= Exempel =


: <math>x^2-4x=0</math>
====pq-formeln - Exempel====
: <math>x(x-4)=0</math>
: <math>x=0</math> eller <math>x-4=0</math>
: <math>x=0</math> eller <math>x=4</math>
}}


Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.
{{exruta|pq-formeln på standardandragradsekvation


=== Ekvationen saknar reella rötter ===
: <math>x^2+4x-5=0</math>
: <math>x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5}</math>
: <math>x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5}</math>
: <math>x=-2 \pm \sqrt{4+5}</math>
: <math>x=-2 \pm 3</math>
: <math>x_1=-2 + 3=1</math>
: <math>x_2=-2 - 3=-5</math>
}}
<br>
{{exruta|pq-formeln på knepigare ragradsekvation


Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).
: <math>3x^2-9x=12</math>
: <math>3x^2-9x-12=0</math>
: <math>x^2-3x-4=0</math>
: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4}</math>
: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4}</math>
: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}</math>
: <math>x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}</math>
: <math>x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}</math>
: <math>x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1</math>
: <math>x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4</math>
}}


{{exruta| '''Ickereella rötter'''
===Faktorisering för att lösa andragradsekvationer===


: <math>x^2=-4</math>
{{exruta| Lös ekvationen
: <math>x=\pm \sqrt{-4}</math>


Det komplexa talet <math>\sqrt{-4}</math> skrivs <math>2 i</math>
: <math>x^2+7x+12=0 </math>
Hitta faktorerna
: <math>(x+3)(x+4)=0</math>
Rötterna ges av nollproduktmetoden
: <math>x_1=-4, \qquad x_2=-3</math>
}}
}}


=== Fullständiga andragradsekvationer ===
= En sammanfattning =


==== pq-formeln - Förklaring====
<pdf>Fil:Andragradsekvationer_sammanfattning.pdf</pdf>


{{#ev:youtube|goYnB61nrjg|400|right|Mario om nyttan med andragradsekvationer.}}
= Uppgifter =
 
== Klurig uppgift ==


En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
{{uppgruta|
Ekvationen <math>( x+3)(x-4) = 0</math>


: <math> x^2 + px + q = 0 </math>
har rötterna  <math> x=-3 </math> och <math>  x=4.</math>


där ''p'' och ''q'' är tal (siffror) i den speciella ekvationen.  
Förklara hur du vet det.


Den allmänna ekvationen har lösningen:
Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln.


: <math> x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} </math>
Vad visar denna övning?
}}


Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
== Uppgiftsblad ==
<pdf>File:Övning_pq2.pdf</pdf>


Tänk på att det inte ska stå någor framför <math>x^2 </math>-termen
= Programmering =


=== Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering ===
===Pythonlösning===
{{#ev:youtube|VacSvx3dRhs|340|right}}


Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
{{Python|[[Andragradsekvation_Python|Andragradsekvation Python]]}}
: {{svwp|Kvadratkomplettering}}
: {{svwp|Andragradsekvation}}
{{clear}}
{{clear}}


<pdf>Peequu-01022012090823.pdf</pdf>
== Dataövning ==


<br>
*[[Dataövning - konsekutiva tal]]
 
= Aktivitet =
 
===Hur det började===


== Aktivitet ==
 
=== Hur det började ===
Den här behöver man fundera på en stund.  
Den här behöver man fundera på en stund.  
: [https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W  How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation]
: eller [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]


=== GGB-bok===
:[https://www.geogebra.org/m/PVUFVf3W How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation]
:eller [http://www.geogebratube.org/student/m358 Quadratic equations in early Baghdad]
 
===GGB-bok===


Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar
: https://ggbm.at/drMyunCX
: https://ggbm.at/drMyunCX


=== Kan du kvadratkomplettera? ===


{{uppgruta| '''Lös följande andragradsekvation genom kvadratkomplettering'''
= Tävning =
 
=== Matematikdueller ===
 
{{uppgruta| Matematikduellernas uppgifter är hemliga
 
[[Fil:Pq-spelen.png|200px|höger|Så går duellerna till]]
 
Men så här går de till:
: Kval
: Grundomgång
: Finaler


: <math>x^2-6x =16</math>
}}
}}


==== '''Lös andragradsekvationer på Khan academy:'''  ====
= Öva val av metod =
<br>
 
{{khanruta|'''Solving Quadratics by facoring'''
Öva strategier med denna fina övning med facit: [https://www.geogebra.org/m/CCtqSQU5 andragradsekvationer alla metoder] av Svetlana och Anders.
Lös dessa [http://www.khanacademy.org/exercise/solving_quadratics_by_factoring Khan, relativt enkla andragradsekvationer]. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CCtqSQU5/width/1233/height/608/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1233px" height="608px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
= GGB - Grafisk lösning =
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation med grafisk lösning" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kmeg9yyb/width/857/height/581/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="857px" height="581px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
= GGB - funktion =
 
===Förstå rötterna grafiskt===
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvationer med pq-formeln" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/B4vtTgKP/width/782/height/450/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="782px" height="450px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.
[https://www.geogebra.org/m/M7qzyh9M Hela konnstruktionen finns här] (med frågor och diskussioner).
}}


=== Dataövning ===
= Problemlösning =


* [[Dataövning - konsekutiva tal]]
<pdf>Fil:Fru_Anderssonska_hägn2.pdf</pdf>


== Lär mer ==
=Lär mer=


{| class="wikitable" align=right
{| class="wikitable" align="right"
|-
|-
| {{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
|{{sway | [https://sway.com/FTDCByRbfHyodx4y?ref{{=}}Link Andragradskvationer]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/9981b409-ebba-40a5-9550-39005f0006a9 Enkla andragradsekvationer] }}<br />
|{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsekvation Andragradsekvationer] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvationer] }}<br />
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvation] }}<br />
|}
|}


* [[Problemlösning med ekvationer]]
*[[Problemlösning med ekvationer]]


* [[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]  
*[[Repetition inför prov Algebra Ma2C]]
* Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [[media:Prov_1_-_Lösnförslag.ppsx| här]]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
*Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas [//wikiskola.se/images/Prov_1_-_L%C3%B6snf%C3%B6rslag.ppsx här]. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
* Diagnos 2 med pq-formeln  
*Diagnos 2 med pq-formeln
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}
{{print|[http://wikiskola.se/images/Snabbdiagnos2_kvadrerings_och_pq.pdf Snabbdiagnos 2]}}


=== rs-formeln ===
===rs-formeln===
 
rs-formeln är en variant av pq-formeln:
 
:<math>x^2 = rx + s</math>


rs-formeln är en variant av pq-formeln. Björn Knutson-Ek skrev så här:
ger


Använd rs-formeln istället. Bara krångligt med minustecken.....
:<math>x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s}</math>


Kör rs-formeln istället pq-formeln
(Färre minustecken.)


: <math>x^2 = rx + s</math>
Kan du förklara hur rs-formeln funkar?
ger
{{clear}}
: <math>x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{\frac{r}{2}^2+s}</math>
 
===Lär dig begreppen på engelska===
 
<html>
<iframe src="//www.slideshare.net/slideshow/embed_code/key/1DznnbwHsnbfVb" width="425" height="355" frameborder="0" align="right" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC; border-width:1px; margin-bottom:5px; max-width: 100%;" allowfullscreen> </iframe>  
</html>
 
Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.


Inga fjolliga minustecken här inte.  
[http://www.slideshare.net/yvettelee3956/rs-solving-graphingquadraticequation Rs solving graphingquadraticequation]
{{clear}}
{{clear}}


=== Se två filmer med Michael Bondestam ===
 
===[https://www.geogebra.org/m/gT97AMuj Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation]===
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gT97AMuj/width/750/height/616/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="750px" height="616px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
===Se två filmer med Michael Bondestam===


{{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}
{{#ev:youtube|eQZEtWY_4kE|340|left}}{{#ev:youtube|FVMWj3PTn7U|340|right}}
Rad 170: Rad 251:
{{clear}}
{{clear}}


== Exit ticket ==
==Exit ticket==
 
<headertabs />

Nuvarande version från 15 maj 2020 kl. 09.17


[redigera]
Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.


Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen

Uttrycket inom rottecknet kallas ekvationens diskriminant.

Rötterna

Vi utgår från andragradsekvationen på standardform:

[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c = 0 }[/math]

Lösningen till andragradsekvatoner kallas rötter. Andragradsekvationer kan ha två rötter, en dubbelrot eller komplexa rötter (icke-reel lösning).

A: Två skärningspunkter, två reella rötter
B: En skärningspunkt, en reell dubbelrot
C: Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

[math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math]

och den räta linje|räta linjen

[math]\displaystyle{ y = k\,x + m }[/math]

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

[math]\displaystyle{ \begin{cases}y=x^2 \\y=-\cfrac{b}{a} \ x - \cfrac{c}{a}\end{cases} }[/math]

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

  • [math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 1 = 0 }[/math]
har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
  • [math]\displaystyle{ x^2+2x-1=0 }[/math]
har två reella lösningar
  • [math]\displaystyle{ x^2 + 2x + 2 = 0 }[/math]
har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant avgör vilket av de tre fallen som gäller.

Delar av texten i detta avsnitt kommer från Wikipedia

[redigera]

pq-formeln - Exempel

Exempel
pq-formeln på standardandragradsekvation
[math]\displaystyle{ x^2+4x-5=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-2 \pm \sqrt{4+5} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=-2 \pm 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1=-2 + 3=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2=-2 - 3=-5 }[/math]


Exempel
pq-formeln på knepigare ragradsekvation
[math]\displaystyle{ 3x^2-9x=12 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3x^2-9x-12=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2-3x-4=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4 }[/math]


Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Exempel
Lös ekvationen
[math]\displaystyle{ x^2+7x+12=0 }[/math]

Hitta faktorerna

[math]\displaystyle{ (x+3)(x+4)=0 }[/math]

Rötterna ges av nollproduktmetoden

[math]\displaystyle{ x_1=-4, \qquad x_2=-3 }[/math]


[redigera]

Klurig uppgift

Uppgift

Ekvationen [math]\displaystyle{ ( x+3)(x-4) = 0 }[/math]

har rötterna [math]\displaystyle{ x=-3 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=4. }[/math]

Förklara hur du vet det.

Multiplicera nu ihop faktorerna och lös ekvationen med pq-formeln.

Vad visar denna övning?


Uppgiftsblad

[redigera]

Pythonlösning

Programmeringsuppgift

Andragradsekvation Python

Dataövning

[redigera]

Hur det började

Den här behöver man fundera på en stund.

How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation
eller Quadratic equations in early Baghdad

GGB-bok

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar

https://ggbm.at/drMyunCX


[redigera]

Matematikdueller

Uppgift
Matematikduellernas uppgifter är hemliga
Så går duellerna till
Så går duellerna till

Men så här går de till:

Kval
Grundomgång
Finaler



[redigera]

Öva strategier med denna fina övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.

[redigera]

Förstå rötterna grafiskt

Hela konnstruktionen finns här (med frågor och diskussioner).

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer




  • Repetition inför prov Algebra Ma2C
  • Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
  • Diagnos 2 med pq-formeln
Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2


rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln:

[math]\displaystyle{ x^2 = rx + s }[/math]

ger

[math]\displaystyle{ x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s} }[/math]

(Färre minustecken.)

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation


Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam


Exit ticket