Andragradsekvationer

Från Wikiskola
Hoppa till: navigering, sök
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Andragradsekvationer

Du kommer att lära dig lösa andragradsekvationer med hjälp av den mytomspunna pq-formeln.


Teori

Enkla andragradsekvationer

Av Daniel Barker.

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

Exempel
Kvadratterm och binom

Kvadratterm:

[math]2x^2=50[/math]
[math]x^2=25[/math]
[math]x=\pm 5[/math]

Binom

[math](x-7)^2=64[/math]
[math](x-7)=\pm 8[/math]
[math](x-7)= +8[/math] eller [math](x-7)= -8[/math]
[math]x= 15[/math] eller [math]x= -1[/math]


Dubbelrot

Exempel
[math](x-7)^2=0[/math] ger dubbelroten
[math]x=7[/math]


Nollproduktsmetoden

Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.

Exempel
Nollproduktsmetoden
[math]x^2-4x=0[/math]
[math]x(x-4)=0[/math]
[math]x=0[/math] eller [math]x-4=0[/math]
[math]x=0[/math] eller [math]x=4[/math]


Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.

Ekvationen saknar reella rötter

Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).

Exempel
Ickereella rötter
[math]x^2=-4[/math]
[math]x=\pm \sqrt{-4}[/math]

Det komplexa talet [math]\sqrt{-4}[/math] skrivs [math]2 i[/math]


Fullständiga andragradsekvationer

pq-formeln - Förklaring

Mario om nyttan med andragradsekvationer.

En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:

[math] x^2 + px + q = 0 [/math]

där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.

Den allmänna ekvationen har lösningen:

[math] x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} [/math]

Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.

Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]x^2 [/math]-termen

pq-formeln - Exempel

Exempel
pq-formeln på standardandragradsekvation
[math]x^2+4x-5=0[/math]
[math]x=-\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5}[/math]
[math]x=-2 \pm \sqrt{(2)^2+5}[/math]
[math]x=-2 \pm \sqrt{4+5}[/math]
[math]x=-2 \pm 3[/math]
[math]x_1=-2 + 3=1[/math]
[math]x_2=-2 - 3=-5[/math]


Exempel
pq-formeln på knepigare ragradsekvation
[math]3x^2-9x=12[/math]
[math]3x^2-9x-12=0[/math]
[math]x^2-3x-4=0[/math]
[math]x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2+4}[/math]
[math]x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+4}[/math]
[math]x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}[/math]
[math]x=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}[/math]
[math]x=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}[/math]
[math]x_1=\frac{3}{2} - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}= -1[/math]
[math]x_2=\frac{3}{2} + \frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4[/math]


Härledning av pq-formeln genom kvadratkomplettering

Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.

Wikipedia skriver om Kvadratkomplettering - Läs verkligen den här framställningen.
Wikipedia skriver om Andragradsekvation


Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Exempel
Lös ekvationen
[math]x^2+7x+12=0 [/math]

Hitta faktorerna

[math](x+3)(x+4)=0[/math]

Rötterna ges av nollproduktmetoden

[math]x_1=-4, \qquad x_2=-3[/math]


Aktivitet

Pythonlösning

Python logo and wordmark.svg
Programmeringsuppgift

Andragradsekvation Python

Hur det började

Den här behöver man fundera på en stund.

How AlKhawarizmi Solved Quadratic Equation
eller Quadratic equations in early Baghdad

GGB-bok

Bläddra igenom den här GeoGebraboken och få en överblick över hur andragradsekvationer fungerar

https://ggbm.at/drMyunCX

Kan du kvadratkomplettera?

Uppgift
Lös följande andragradsekvation genom kvadratkomplettering
[math]x^2-6x =16[/math]


Lös andragradsekvationer på Khan academy:


Khan-logo-vertical-transparent.png
Öva på Khan: Solving Quadratics by facoring

Lös dessa Khan, relativt enkla andragradsekvationer. De kan lösas genom att gissa eller faktorisera.

Möjligen kan det vara svårt att veta hur de menar att man ska göra på vissa uppgifter. Ta reda på rötterna och faktorisera så går et bra.


Matematikdueller

Uppgift
Matematikduellernas uppgifter är hemliga
Så går duellerna till

Men så här går de till:

Kval
Grundomgång
Finaler



Sorteringsövningar och val av metod

Exempel
Gör dessa i helklass

Testa själva.

Diskutera vilken GGB som var bäst och varför.

Vad kunde förbättras?

En Sorteringsövning Klicka och dra!
Och en fin övning med facit: andragradsekvationer alla metoder av Svetlana och Anders.
Faktorisera andragradsekvationer (nollpunktsmetoden). Här är det givet att du ska faktorisera men du får öva dig på hur.


Förstå rötterna grafiskt

Hela konnstruktionen finns här (med frågor och diskussioner).

Lär mer

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Andragradskvationer




  • Repetition inför prov Algebra Ma2C
  • Facit och bedömning: Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013). Lägg på SlideShare.
  • Diagnos 2 med pq-formeln
Gnome-dev-printer.svg
Du kan printa denna! Snabbdiagnos 2


rs-formeln

rs-formeln är en variant av pq-formeln:

[math]x^2 = rx + s[/math]

ger

[math]x = \frac{r}{2} \pm \sqrt{(\frac{r}{2})^2+s}[/math]

(Färre minustecken.)

Kan du förklara hur rs-formeln funkar?

Dataövning

Lär dig begreppen på engelska

Genom att se PowerPointen till höger blir du bättre på att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.

Rs solving graphingquadraticequation


Välja lämplig metod för att lösa en andragradsekvation

Se två filmer med Michael Bondestam


Exit ticket